發(fā)布時(shí)間：2023-06-16 16:25:17
序言：寫作是分享個(gè)人見解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念及意義樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教材；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；高考題
現(xiàn)下高中學(xué)生的學(xué)習(xí)資料太多，以至于沒時(shí)間認(rèn)真研讀數(shù)學(xué)教材，部分老師也將就學(xué)生在書山題海中完成教學(xué)任務(wù)，這樣做學(xué)生一時(shí)半刻不會(huì)受影響，長(zhǎng)此以往便會(huì)給學(xué)生自身帶來許多困惑，因?yàn)殚L(zhǎng)期只知其然而不知其所以然。數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)專家們歷經(jīng)幾代人幾十年的智慧成果，是開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本依據(jù)，下面簡(jiǎn)要談?wù)劷滩脑诟咧械学教学中掉[匾性。
一、教材就是典型的導(dǎo)學(xué)案
教材內(nèi)容飽滿，符合學(xué)生認(rèn)知狀態(tài)，是其他任何輔導(dǎo)書講義等不可比擬的。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，把教材當(dāng)作學(xué)生學(xué)習(xí)的導(dǎo)學(xué)案，依托數(shù)學(xué)教材開展數(shù)學(xué)教學(xué)能取得意想不到的效果。例如在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用部分的教學(xué)中，師生容易輕視導(dǎo)數(shù)的概念及對(duì)導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)過程而重視記憶各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這樣會(huì)阻礙學(xué)生今后解決數(shù)學(xué)問題。教材中導(dǎo)數(shù)是由變化率到瞬時(shí)變化率（瞬時(shí)速度）來刻畫的，接著再學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義。若能重視對(duì)教材的研讀，就能深刻理解導(dǎo)數(shù)，靈學(xué)活用，更容易解決函數(shù)增減、最值問題、直線與曲線的交點(diǎn)問題等。
二、教材題目的設(shè)置具有代表性
教材例題或習(xí)題是命題者的重要素材來源，熟悉教材題目具有重要意義。比如：
例1：（2013，全國Ⅱ）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知a=bcosC+csinB.求角B。
例2：（2014，廣東）在ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c。已知bcosC+ccosB=2b，則 =_____。
例3：（2016，全國）ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=C.求角C。
三個(gè)高考真題均不難，是典型的已知邊角關(guān)系求角或邊的比例關(guān)系。做這類題時(shí)，學(xué)生極有可能馬上利用正余弦定理將已知的邊角關(guān)系化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系再順利求解?；剡^來看3個(gè)題目中都出現(xiàn)類似于新課標(biāo)人教版必修五教材18頁練習(xí)3射影定理的結(jié)構(gòu)a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA，如果考生熟悉這一結(jié)論的話做題速度就會(huì)很快。例1中已知a=bcosC+ccosB，而由射影定理知a=bcosC+ccosB，所以sinB=cosB，角B為三角形內(nèi)角，故B= 。例2中已知bcosC+ccosB=2b，又有a=bcosC+ccosB，所以a=2b，故 =2。例3中已知2cosC（acosB+bcosA）=c，又有c=acosB+bcosA，所以2cosC=1，故C= 。教材的篇幅有限，所包含的內(nèi)容卻是無窮的，這就需要我們重視教材，深入挖掘教材，理解教材。
一、函數(shù)定義域問題
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)定義域是高考的?？純?nèi)容之一，一般情況下，函數(shù)的定義域就是指使函數(shù)解析式有意義的所有實(shí)數(shù)x的集合，但實(shí)際問題的定義域必須具有實(shí)際意義，對(duì)含參數(shù)的函數(shù)定義域必須對(duì)字母參數(shù)分類討論.在一些具體函數(shù)綜合問題中，函數(shù)定義域往往具有隱蔽性，所以在研究這些問題時(shí)，必須遵循“定義域優(yōu)先”的原則.
二、函數(shù)圖象問題
點(diǎn)評(píng)：由于近年來高考試題加強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合思想的考查，最明顯的是高考試卷中函數(shù)圖象考題的增多.要掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，理解掌握常見的圖象平移、對(duì)稱及伸縮變換，通過對(duì)圖象的識(shí)別來考查函數(shù)的性質(zhì).
三、函數(shù)求值問題
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)求值問題一直是高考常考不衰的題型，它在高考中的突出地位應(yīng)引起高度重視，有關(guān)函數(shù)求值問題大多是通過利用函數(shù)的奇偶性或周期性，將未知值轉(zhuǎn)化為已知值問題.
四、函數(shù)單調(diào)性問題
（1）當(dāng)01；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a、b（a
（3）若存在實(shí)數(shù)a、b（a
（2）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a、b.
若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a、b，使得函數(shù)f（x）的定義域、值域都是[a，b]，
與a
②當(dāng)a、b∈[1，+∞）時(shí)，f（x）=1-1x在[1，+∞）上為增函數(shù)，
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a、b.
③當(dāng)a∈（0，1），b∈[1，+∞）時(shí)，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[a，b]，
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a、b.
綜上可知，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a、b.
（3）若存在實(shí)數(shù)a、b（a0，m>0.
①當(dāng)a、b∈（0，1）時(shí)，f（x）=1x-1在（0，1）上為減函數(shù)，值域?yàn)閇ma，mb]，
與a
②當(dāng)a∈（0，1），b∈[1，+∞）時(shí)，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[ma，mb]，
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a、b.
③當(dāng)a、b∈[1，+∞）時(shí)，f（x）=1-1x在[1，+∞）上為增函數(shù)，
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)單調(diào)性是高考熱點(diǎn)問題之一，在歷年的高考試題中，考查利用函數(shù)單調(diào)性的試題屢見不鮮，既可以考查用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，用反例說明函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間等問題，又可以考查利用函數(shù)的單調(diào)性求應(yīng)用題中的最值問題.函數(shù)的單調(diào)性是探索函數(shù)值域或最值的常用工具，是函數(shù)思想在解題中的具體體現(xiàn)，應(yīng)當(dāng)引起重視.解存在性問題的常用方法是先對(duì)結(jié)論做肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行探索，由探索結(jié)果是否出現(xiàn)矛盾來作出正確判斷.
五、三個(gè)二次問題
例5 已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，它在y軸上的截距為-3.又對(duì)任意的x都有f（x+1）=f（1-x）.
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若二次函數(shù)的圖象都在直線l：y=x+m的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
（2）由條件知，x2-2x-3>x+m，即x2-3x-3-m>0對(duì)于x∈R恒成立，
點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)、二次不等式、二次方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它把中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支緊緊地聯(lián)系在一起.以“三個(gè)二次”為載體，綜合二次函數(shù)、二次不等式、二次方程交叉匯合處為主干，構(gòu)筑成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)型代數(shù)推理題，在高考試題出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高，占據(jù)著令人矚目的地位.
六、函數(shù)應(yīng)用問題
例6 某公司是一家專做產(chǎn)品A銷售的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完.該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖一、二、三所示，其中圖一中的折線表示的是國外市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖二中的拋物線表示的是國內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖三中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時(shí)間的關(guān)系（國內(nèi)外市場(chǎng)相同）.
（1）分別寫出國外市場(chǎng)的日銷售量f（t）、國內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量g（t）與第一批產(chǎn)品A上市時(shí)間t的關(guān)系式；
江蘇“課程標(biāo)準(zhǔn)”中對(duì)導(dǎo)數(shù)部分的要求是：一、了解導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義；二、理解導(dǎo)數(shù)的定義，了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，包括求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間及判定函數(shù)的單調(diào)性等；三、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求及本人在教學(xué)中了解的學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，提出在復(fù)習(xí)過程中的幾點(diǎn)想法：
一、注重導(dǎo)數(shù)的幾何意義
導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考涉及導(dǎo)數(shù)知識(shí)時(shí)經(jīng)常考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如求切線的斜率、求切線的方程等，難點(diǎn)在于對(duì)其幾何意義的正確理解.
例1 （2008江蘇8）直線y=1[]2x+b是曲線y=lnx(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝.
解析 求曲線的切線（包括給出的點(diǎn)在或不在已知曲線上兩類情況）為主要內(nèi)容，求切線方程的難點(diǎn)在于分清“過點(diǎn)(x0,y0)的切線”與“點(diǎn)(x0,y0)處的切線”的差異.突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是理解這兩種切線的不同之處在哪里：在過點(diǎn)(x0,y0)的切線中，點(diǎn)(x0,y0)不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)(x0,y0)也不一定不在切線上；而點(diǎn)(x0,y0)處的切線，必以點(diǎn)(x0,y0)為切點(diǎn)，則此時(shí)切線的方程才是y-y0=f′(x0)(x-x0).求切線方程的常見方法有：①數(shù)形結(jié)合.②將直線方程代入曲線方程利用判別式.③利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
二、強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值）的基礎(chǔ)，是高考重點(diǎn)考查的對(duì)象，考查的方式以填空題為主.
例2 （2009江蘇3）函數(shù)f(x)=x3-15x2-33x+6的單調(diào)減區(qū)間為.
解析 對(duì)于導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)，應(yīng)該立足基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）在求導(dǎo)過程中要緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式，對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要注意適當(dāng)恒等變形.（2）用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及最值時(shí)要特別注意函數(shù)的定義域，因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義域可能和這個(gè)函數(shù)的定義域不相同.（3）近年高考中經(jīng)常出現(xiàn)以三次函數(shù)為背景的問題，復(fù)習(xí)中應(yīng)加以重視.
三、加強(qiáng)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)問題的研究
運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的性質(zhì)是歷年高考的熱點(diǎn)問題.高考試題常以解答題形式出現(xiàn)，主要考查利用導(dǎo)數(shù)為工具解決函數(shù)、方程及不等式有關(guān)的綜合問題，題目較難.
例3 （2011江蘇19）已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分別是f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)g′(x)≥0在區(qū)間Ⅰ上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區(qū)間Ⅰ上單調(diào)性一致.
（1）設(shè)a>0，若函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間［-1,+∞)上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)a
解析 這類問題常常涉及求函數(shù)解析式、求參數(shù)值或取值范圍問題.解決極值、極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性，參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為解不等式的問題，有時(shí)須要借助于方程的理論來解決，從而達(dá)到考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學(xué)思想.
四、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題
近幾年，高考越來越注重對(duì)實(shí)際問題的考查，因此要學(xué)會(huì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)最優(yōu)化的問題及即時(shí)速度、邊際成本等問題，學(xué)生要有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)、思想方法以及能力.實(shí)際應(yīng)用問題的考查將是高考的又一熱點(diǎn).
例4 （2010江蘇）將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=(梯形的周長(zhǎng)）2[]梯形的面積,則S的最小值是.
解析 解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù).把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再化歸為常規(guī)問題，選擇合適的教學(xué)方法求解（尤其要注意使用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化的問題）.
通過以上考點(diǎn)回顧和熱點(diǎn)分析，我們?cè)趯?dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)備考中須要注意以下幾個(gè)問題：
1.要把導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)放在函數(shù)大背景下來復(fù)習(xí).同時(shí)注意定義域優(yōu)先、函數(shù)方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、恒不等式問題常見處理方法，等等.
2.要用好導(dǎo)數(shù)工具.要對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行正確求導(dǎo)，特別注意的是分式、對(duì)數(shù)式、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，一定要對(duì)求導(dǎo)的結(jié)果進(jìn)行演算之后再進(jìn)行下一步的運(yùn)算.
摘要：“數(shù)學(xué)是思維的體操”，而數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)是思維。要提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，關(guān)鍵是提高他們的思維反映能力。針對(duì)文科數(shù)學(xué)來講，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)相結(jié)合，是一個(gè)難點(diǎn)，在高考題目里怎樣做到準(zhǔn)確有效的解題，就需要從提高學(xué)生的能力和培養(yǎng)創(chuàng)新思維上入手。
關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；高考；思維力
【中圖分類號(hào)】G424.1
引言：作為文科生來講，力求使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和常見題型，結(jié)合高考內(nèi)容有適當(dāng)?shù)奶嵘途C合。中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)處于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，同時(shí)具備函數(shù)、不等式以及常量和變量的互動(dòng)特點(diǎn)，自納入高中數(shù)學(xué)以來就一直是命題的熱點(diǎn)。
一、導(dǎo)數(shù)在高考試題中的分布
文科高考數(shù)學(xué)題一小一大，一般總計(jì)17分：基礎(chǔ)分值為11分，屬于通性通法，為學(xué)生可以掌握的內(nèi)容；綜合分值6分，往往涉及含參和恒成立的問題，有一定難度。綜觀近幾年全國高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查有以下一些知識(shí)類型與特點(diǎn)：（1）多項(xiàng)式求導(dǎo)（結(jié)合不等式求參數(shù)取值范圍），和求斜率（切線方程結(jié)合函數(shù)求最值）問題；（2）求極值， 函數(shù)單調(diào)性，應(yīng)用題；（3）函數(shù)、數(shù)列和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題。而其中增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的意識(shí)、體會(huì)、感悟，并學(xué)會(huì)用函數(shù)的思想方法在綜合問題中的應(yīng)用，提高分析轉(zhuǎn)化問題以及構(gòu)造函數(shù)解決問題的能力。
《考試大綱》對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查要求一般分成三個(gè)層次：一是主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間，判定函數(shù)的單調(diào)性等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起設(shè)計(jì)綜合題，加強(qiáng)能力考查力度，使試題具有更廣泛的實(shí)際意義。
二、高考熱點(diǎn)問題示例
熱點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的幾何意義
導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考涉及導(dǎo)數(shù)知識(shí)時(shí)經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)，如求切線的斜率、求切線的方程等，難點(diǎn)在于在于對(duì)其幾何意義的正確理解。
例1 已知曲線y=13x3+43
（1）求曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程；
（2）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程；
（3）求滿足斜率為1的曲線的切線方程。
解析：（1）y′=x2
在點(diǎn)P（2，4）處的切線的斜率k=y′|x=2=22=4
曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程為y—4=4（x—2）
即4x—y—4=0
（2）設(shè)曲線y=13x3+43與過點(diǎn)P（2，4）的切線相切于點(diǎn)A（x0，13x03+43），則切線的斜率k=y′|x=x0=x02
切線方程為y—（13x03+43）=x02（x—x0）；即y=x02·x—23x03+43
點(diǎn)P（2，4）在切線上， 4=2x02—23x03+43
即x03—3x02+4=0
x03—8—3x02+12=0；即（x0—2）2（x0+1）=0
解得x0=—1，或x0=2
故所求切線方程為4x—y—4=0或x—y+2=0
規(guī)律方法：根據(jù)條件列方程或方程組是解決該問題的主要方法，靈活運(yùn)用x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是該點(diǎn)處的切線的斜率是解決有關(guān)切線問題的關(guān)鍵.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線方程為y=f′（x0）（x—x0）+f（x0）。
變式1、曲線y=x2—x在點(diǎn)（1，0）處切線的傾斜角為（ ）
變式2、（2010年四川）設(shè)曲線y=x2在點(diǎn)（1，a）處的切線與直線2x—y—6=0平行，則a=（ ）
思考：（2010·江蘇）函數(shù)y=x2（x>0）的圖象在點(diǎn)（ak，a2k）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1，其中k∈N*，a1=16，則a1+a3+a5的值是________.
熱點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用包括：求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間，判定函數(shù)的單調(diào)性等
例2、（2008·湖北）已知函數(shù)f（x）= （m為常數(shù)，且m>0）有極大值9。
（1）求m的值；
（2）若斜率為—5的某直線是曲線y=f（x）的切線，求此直線方程。
解析：（1）令f′（x）=3x2+2mx—m2=（x+m）（3x—m）=0，則x=—m，或x=m3.
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：
從而可知，當(dāng)x=—m時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值9，
即f（—m）=9，m=2。
（2）由（1）知，f（x）=x3+2x2—4x+1
依題意，知f′（x）=3x2+4x—4=—5
x=—1，或x=—13
又f（—1）=6，f —13=6827，
所以切線方程為y—6=—5（x+1），或y—6827=—5x+13
即5x+y—1=0，或135x+27y—23=0。
規(guī)律方法：此題屬于逆向思維，但仍可根據(jù)求函數(shù)極值的步驟求解，但要注意極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用這一關(guān)系f′（x）=0建立字母系數(shù)的方程（組），通過解方程（組）確定字母系數(shù)，從而解決問題。
練習(xí)1、若函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值，則 的取值范圍為（ ）。
易錯(cuò)題：函數(shù)f（x）= x3+3x2+3x—a的極值個(gè)數(shù)為：
A.2 B.1 C.0 D.與a值有關(guān)
分析：（1）對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為函數(shù)根與判別式的關(guān)系；
（2）判斷為極值的條件：1 f′（x）=0。
2在該點(diǎn)附近導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反。
練習(xí)2、函數(shù)f（x）=12x—x3在區(qū)間 上最小值為 。
變式題：函數(shù)f（x）=12x—x3在區(qū)間 上滿足f（x）>m恒成立，求m的取值范圍。
可作如下分析：
1在閉區(qū)間上最值的求法可簡(jiǎn)單理解為：極值+端點(diǎn)處的函數(shù)值大小比較。
2變式題加了恒成立，本質(zhì)上仍是求最小值。
熱點(diǎn)3、利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問題
例3、設(shè)函數(shù)f（x）=13x3—（1+a）x2+4ax+24a，其中常數(shù)a>1
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍。
解：第（1）問略
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在x=2a，或x=0處取得最小值.
f（2a）=13（2a）3—（1+a）（2a）2+4a·2a+24a
=—43a3+4a2+24a f（0）=24a
由x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，得a>1，f?2a?>0，f?0?>0，
故a的取值范圍是（1，6）
規(guī)律方法：（1）當(dāng)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)解不等式的需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論時(shí)要不重不漏；（2）要注意根據(jù)各個(gè)因式的符號(hào)將f′（x）>0等價(jià)轉(zhuǎn)化為常見的不等式，很多情況下都是轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，所以對(duì)一元二次不等式的解法要熟練掌握，特別是含參數(shù)的一元二次不等式.（3）對(duì)恒成立問題和函數(shù)知識(shí)結(jié)合緊密，是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)也是高考的一個(gè)考點(diǎn)，應(yīng)對(duì)根的分布與不等式的最值問題慢慢讓學(xué)生學(xué)會(huì)融會(huì)貫通。
練習(xí)：設(shè)函數(shù)f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R.
（1）當(dāng)a=—103時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的a∈[—2，2]，不等式f（x）≤1在[—1，1]上恒成立，求b的取值范圍。
關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 中學(xué)數(shù)學(xué) 銜接 對(duì)策
1 兩階段課程目標(biāo)及教學(xué)要求的差異分析
1.1 兩階段課程目標(biāo)及教學(xué)要求的差異分析
中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出的具體從能力目標(biāo)，情感目標(biāo)來培養(yǎng)的目標(biāo)是：①獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法。以及它們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中的作用。通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。②提高空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力。③提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題（包括實(shí)際應(yīng)用問題）的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。④發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。⑤提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。⑥具有一定的屬性視野，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值，形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進(jìn)一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀①。
鑒于高職高專屬性的兩重性，其數(shù)學(xué)課程目標(biāo)一般是根據(jù)學(xué)校的人才培養(yǎng)方案，結(jié)合1999年教育部制定的《高職高專高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基本要求》而制定。每個(gè)學(xué)校會(huì)根據(jù)自己的人才培養(yǎng)方案并結(jié)合要求，制定相應(yīng)的教學(xué)大綱，從而確定教學(xué)任務(wù)。
通過上述比較，可以看出，目前高職高專高等數(shù)學(xué)的教學(xué)要求只是將理工類高等數(shù)學(xué)的教學(xué)大綱“減”“簡(jiǎn)”了一部分內(nèi)容，并且為了凸顯高職高專的職業(yè)性，提出了遵循“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”的原則，根本沒有以中學(xué)數(shù)學(xué)作為參照。用這樣的大綱來指導(dǎo)教學(xué)，必然使高職數(shù)學(xué)的教學(xué)陷入困境。所以安排一部分教師從根本上學(xué)習(xí)和研究中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求，制定出中學(xué)數(shù)學(xué)與高職高專高等數(shù)學(xué)銜接緊密的，又能滿足后續(xù)課程要求的、合理的教學(xué)大綱是迫在眉睫的。
1.2 教學(xué)要求差異的銜接策略
數(shù)學(xué)教學(xué)大綱是指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)綱領(lǐng)性的文件，因此，要搞好高職和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求的銜接，首先要解決好教學(xué)大綱的制定問題。
①教學(xué)大綱的制定必須考慮到學(xué)校的人才培養(yǎng)方案，根據(jù)學(xué)校的人才培養(yǎng)方案確定學(xué)生在高職階段所必須達(dá)到的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，明確數(shù)學(xué)方面的基本要求、提高要求和應(yīng)用要求。
②教學(xué)大綱的制定要建立在中學(xué)數(shù)學(xué)課程的平臺(tái)上，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的實(shí)際情況，在教學(xué)內(nèi)容和方法上相應(yīng)的改革，盡量避免知識(shí)梯度過大，計(jì)算要求過于復(fù)雜。
③教學(xué)大綱的制定要突破原有課程的界限，根據(jù)各專業(yè)特點(diǎn)靈活選用教學(xué)內(nèi)容，達(dá)到數(shù)學(xué)與相關(guān)課程和相關(guān)內(nèi)容的有機(jī)結(jié)合②。編寫符合高職高專特色的各專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，做到“專業(yè)性質(zhì)不同，開設(shè)課時(shí)不一，目標(biāo)要求不同，側(cè)重內(nèi)容各異，精選傳統(tǒng)內(nèi)容，滲透現(xiàn)代知識(shí)，保持體系完整，重在知識(shí)應(yīng)用”。
高職數(shù)學(xué)的教學(xué)要求被具體的分割在每次教學(xué)活動(dòng)中，教師在教學(xué)活動(dòng)中的主導(dǎo)地位毋庸置疑，每次活動(dòng)中，教師對(duì)教學(xué)要求的認(rèn)識(shí)直接影響教學(xué)活動(dòng)的開展和質(zhì)量。要搞好高職和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求的銜接第二方面要做的是，對(duì)高職教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)要求的培訓(xùn)。
在教學(xué)大綱制定的基礎(chǔ)上，對(duì)所有的任課教師進(jìn)行大綱要求的培訓(xùn)，明確教學(xué)任務(wù)，教學(xué)要求。并在后期的教學(xué)中，定期分模塊，分章節(jié)的結(jié)合教學(xué)實(shí)際，再對(duì)教師進(jìn)行基本要求，提高要求，進(jìn)行應(yīng)用要求方面的培訓(xùn)，使每個(gè)一線教師能夠深入細(xì)致的了解高職的教學(xué)要求，在教學(xué)中做到有的放矢。
2 兩階段教學(xué)內(nèi)容的差異分析及銜接對(duì)策
2.1 兩階段教材內(nèi)容比對(duì)
高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以初中階段的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)的，同時(shí)也為進(jìn)入高一級(jí)學(xué)校學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。2003年4月，國家教育部制定的《普通中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》對(duì)課程的內(nèi)容及其處理方式進(jìn)行了新的變動(dòng)，更加突出了基礎(chǔ)性和選擇性。數(shù)學(xué)課程不再劃分科目，分為必修和選修，兩部分的內(nèi)容直接由模塊構(gòu)成，為不同學(xué)生的發(fā)展提供了不同的課程內(nèi)容。
以人教A版作為高中階段的參照教材。教材的必修課程由5個(gè)模塊組成，選修課程有四個(gè)系列，內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的概念之一，是聯(lián)系幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁，它具有豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。算法作為新名詞，在以前的數(shù)學(xué)教材中沒有出現(xiàn)，但是算法本身，學(xué)生并不陌生，因式分解、不等式、方程等中都出現(xiàn)了算法思想，這些都是學(xué)生熟悉的知識(shí)和內(nèi)容。只是算法的基本思路、特點(diǎn)、學(xué)習(xí)算法的必要性等問題以前沒有專門的涉及。概率與統(tǒng)計(jì)是基于時(shí)代的要求而添置的，現(xiàn)代社會(huì)是一個(gè)信息化的社會(huì)，人們需要具備從數(shù)據(jù)提取信息，做出合理決策的能力?；镜母怕逝c統(tǒng)計(jì)知識(shí)是公民必備的常識(shí)。
現(xiàn)行高職高專高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容一般包括：函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用和常微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)及其微分法、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級(jí)數(shù)等。其他部分如概率、統(tǒng)計(jì)、復(fù)數(shù)等只是在部分專業(yè)開設(shè)，故不進(jìn)行討論。
2.2 高職高專高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)脫節(jié)內(nèi)容梳理
縱觀兩個(gè)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)相對(duì)于高中階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容設(shè)置，高職高專高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容設(shè)置相對(duì)陳舊，沒有根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的改革而調(diào)整。從而出現(xiàn)高職高專高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)在教學(xué)內(nèi)容上的不銜接，主要有以下幾個(gè)方面的脫節(jié)現(xiàn)象：
2.2.1 兩階段教學(xué)內(nèi)容完全脫節(jié)。這種類型指的是知識(shí)點(diǎn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有講授，而在高職的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中卻把這些知識(shí)點(diǎn)當(dāng)作已經(jīng)講解過的內(nèi)容直接作為計(jì)算工具來使用。這些脫節(jié)的知識(shí)點(diǎn)雖說不多，但是如果不了解，不給學(xué)生事先做鋪墊，必將給高等數(shù)學(xué)的教學(xué)帶來不良的影響。
2.2.2 兩階段教學(xué)內(nèi)容重復(fù)。這種類型就是指高職高等數(shù)學(xué)內(nèi)容及形式與高中的基本一致或完全重復(fù)。隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的改革，部分高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容被納入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，導(dǎo)致兩階段中出現(xiàn)了一些重疊部分。這樣的重疊大體可分為兩種情況，一種情況是某些知識(shí)點(diǎn)的講解和教學(xué)上的要求一模一樣。這部分內(nèi)容，學(xué)生在高中已經(jīng)學(xué)習(xí)過，高職教師沒有注意到這一點(diǎn)，對(duì)同樣的內(nèi)容進(jìn)行重復(fù)講解，不但消耗了有限的學(xué)時(shí)，還使學(xué)生產(chǎn)生厭煩情緒。另外一種情況是，兩階段在某些知識(shí)點(diǎn)上都有所涉及，但在內(nèi)容和教學(xué)要求上是不一樣的，有部分重疊。這部分內(nèi)容新舊知識(shí)混合的編排，由于老師沒有準(zhǔn)確的了解學(xué)生已知知識(shí)細(xì)節(jié)和掌握程度，而導(dǎo)致重復(fù)或講解不到位，導(dǎo)致脫節(jié)。
2.2.3 兩階段前后不一型。就是對(duì)同一內(nèi)容，高職和高中兩階段的表述、名稱或符號(hào)等不一致。如單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，了解函數(shù)的單調(diào)性為我們精確地作出函數(shù)圖像和準(zhǔn)確預(yù)測(cè)事物的發(fā)展趨勢(shì)提供了重要的分析工具，無論是在中學(xué)數(shù)學(xué)還是高職數(shù)學(xué)教學(xué)中都是重要的知識(shí)點(diǎn)之一。在認(rèn)真研究高中與《高數(shù)》教材中發(fā)現(xiàn)關(guān)于單調(diào)性的定義和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的充分條件中都有差異。（高中）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，對(duì)于任意x1，x2∈[a，b]，當(dāng)x1
2.3 高職高專高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)脫節(jié)知識(shí)點(diǎn)銜接策略
根據(jù)上述兩階段脫節(jié)內(nèi)容的分析，高職數(shù)學(xué)教師在講授新知識(shí)時(shí)，應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知識(shí)，聯(lián)系和區(qū)別新、舊知識(shí)，特別要注重對(duì)那些前后不一，新舊混合的知識(shí)點(diǎn)，要加以分析、比較、區(qū)別。對(duì)概念及數(shù)學(xué)思想的正確理解，才可以到達(dá)溫故知新、溫故探新的效果。
2.3.1 補(bǔ)充“兩頭都不管”的知識(shí)點(diǎn)
在梳理高職高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)脫節(jié)的基礎(chǔ)上，對(duì)于“兩頭都不管”的知識(shí)點(diǎn)，采用教學(xué)中分散補(bǔ)充方法進(jìn)行補(bǔ)充，避免學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)斷層。如對(duì)三角函數(shù)積化和差化積公式，根據(jù)高職高等數(shù)學(xué)的培養(yǎng)目標(biāo)，只需要讓學(xué)生了解知識(shí)的形成過程，能夠使用這個(gè)工具進(jìn)行計(jì)算就可以了。所以這里只需要在講授相關(guān)內(nèi)容之前，以閱讀資料形式將這個(gè)知識(shí)點(diǎn)提供給學(xué)生，再進(jìn)行指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生理解即可。
2.3.2 “自學(xué)指導(dǎo)”法，兼顧重復(fù)知識(shí)點(diǎn)
對(duì)于完全重復(fù)的知識(shí)點(diǎn)部分，可以大膽進(jìn)行刪減或改由學(xué)生自學(xué)掌握。而對(duì)于需要加深、擴(kuò)展的內(nèi)容，應(yīng)加以強(qiáng)調(diào)和重視。用高等數(shù)學(xué)的理論、觀點(diǎn)、方法去分析那一部分內(nèi)容，使學(xué)生意識(shí)到中學(xué)數(shù)學(xué)教材中一些不能講解的“深刻”的內(nèi)容。通過高等數(shù)學(xué)的相應(yīng)的解釋，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)高度。
2.3.3 適當(dāng)降低教學(xué)內(nèi)容難度，便于學(xué)生接受
針對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)難度過大和高職高專人才培養(yǎng)方案，教師在教學(xué)時(shí)要適當(dāng)降低難度，把教材內(nèi)容改造成適合學(xué)生普遍接受和理解的形式。在強(qiáng)調(diào)高等數(shù)學(xué)理論系統(tǒng)性時(shí)，應(yīng)該考慮到學(xué)生的可接受性，可簡(jiǎn)化一些理論證明。同時(shí)，對(duì)某些內(nèi)容的處理，可降低一些理論要求，適當(dāng)刪掉一些過于繁瑣的推理和完全可以用計(jì)算器代替的計(jì)算。如“理解羅爾定理和拉格朗日定理，了解柯西定理（三個(gè)定理的分析證明不作要求，只需要學(xué)生能夠借用一些輔助函數(shù)的圖像理解便可）”，再如“淡化特殊積分技巧的訓(xùn)練，可教學(xué)生使用積分表或使用數(shù)值積分軟件。不要求過于繁瑣的計(jì)算?！?/p>
2.3.4 高職高等數(shù)學(xué)課應(yīng)與專業(yè)課相得益彰相互促進(jìn)
建筑力學(xué)雖然研究工程實(shí)際中的各種構(gòu)件和結(jié)構(gòu)，但受力作用后的內(nèi)力、應(yīng)力和應(yīng)變卻是看不見摸不著的，必須借助數(shù)學(xué)中的向量及其運(yùn)算、函數(shù)與圖像甚至微積分來表示與研究。再例如采取軸力圖、剪力圖、彎矩圖等闡明靜力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本原理。
因此，必須培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法消化吸收工程概念和工程原理的能力。
此時(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)傳授完，如果數(shù)學(xué)老師就此打住，此例題就顯得平淡無奇，但是如果老師加一句話：實(shí)際操作時(shí)如何下料？
學(xué)生討論后，老師可帶學(xué)生分析。
當(dāng)然，建筑力學(xué)不是數(shù)學(xué)，它有很強(qiáng)的工程背景，而且應(yīng)用性很強(qiáng)。因此，建筑力學(xué)在教學(xué)中必須突出理論聯(lián)系實(shí)際的特點(diǎn)，廣泛聯(lián)系工程案例，幫助學(xué)生理解建筑力學(xué)的抽象原理，引導(dǎo)學(xué)生把理論知識(shí)和工程實(shí)際相結(jié)合，把建筑力學(xué)知識(shí)學(xué)懂學(xué)活。
3 結(jié)束語
教育的銜接問題由來已久，自把教育分成大、中、小學(xué)就開始出現(xiàn)，只是近年來由于升學(xué)、教育改革等原因，此問題變得更加突出，各階段的教育銜接已經(jīng)被提上議程，占據(jù)高等教育半壁江山的高職教育與高中階段的銜接問題研究不應(yīng)該被忽視。當(dāng)然，鑒于高職教育的雙重屬性，它的研究與普通教育的研究存在很多不同。由于個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和水平，研究只對(duì)高中與高職階段的數(shù)學(xué)教學(xué)銜接因素中的內(nèi)容銜接做了初步的探討，還有很多問題有待進(jìn)一步研究。比如銜接教學(xué)教材如何建設(shè)，銜接的教學(xué)方法還有哪些等等。解決數(shù)學(xué)課程設(shè)置和教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法上的銜接，是一個(gè)長(zhǎng)期而艱苦的工作，需要廣大數(shù)學(xué)教育工作者的共同努力，積極參與，更需要各教育階段之間的相互溝通與了解。只有這樣才能使高職與高中兩個(gè)教育階段的數(shù)學(xué)教育有機(jī)銜接。
注釋：
①中華人民共和國共和國教育部.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[S].北京：人民教育出版社，2003.
②周元明.高職院校數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的思考[J].太平洋學(xué)報(bào)，2005（57），12：65-66.
參考文獻(xiàn)：
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