發(fā)布時間：2023-08-30 16:36:55
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的數(shù)學解決問題的概念樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發(fā)，請盡情閱讀。
課題。
一、培養(yǎng)學生解決問題的能力，要重視概念教學
小學數(shù)學教學的主要任務之一是使學生掌握一定的數(shù)學基礎知識。而概念是數(shù)學基礎知識中最基本的知識，是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。對概念的理解和掌握，關系到學生計算能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)，關系到學生解決實際問題的能力和學習數(shù)學的興趣。所以，我認為教師在講授概念時一定要講透徹，從具體到抽象，從感性到理性，從特殊到一般地逐步揭示概念的內(nèi)涵和外延，讓學生理解概念，為解決問題奠定基礎。小學數(shù)學教學中，幾何圖形的周長、面積、體積在解決問題中應用得非常廣泛，即使學生對各種圖形的周長、面積、體積公式背得爛熟于心，但在解題時還是會出錯，大部分表現(xiàn)在把求體積的題做成了求表面積，把求表面積的題做成了求體積，這主要是學生對周長、面積、體積等概念理解不透徹，我認為北師大教材在這方面比較好，在
新概念教學之前，通過讓學生動手操作、體驗、感受等活動為學生下節(jié)課理解概念打好基礎。
二、培養(yǎng)學生解決問題的能力，加強變式題型的訓練
課堂教學中，在學生學會教材所呈現(xiàn)的例題以后，可以根據(jù)同一組信息創(chuàng)設不同的問題，提高學生的思維能力，達到鞏固基礎知識，舉一反三的效果。如：在講解完北師大版小學五年級數(shù)學下冊“合格率”的例題以后，我設計了這樣的練習題：甲牌罐頭抽查56箱，7箱沒有合格，乙牌罐頭抽查40箱，35箱合格，問哪種品牌的罐頭合格率高。在解決問題時，有的學生直接用7÷56=
12.5%，35÷40=87.5%，12.5%
那么應該怎么辦？學生在交流中最終得出了兩種方法：（1）用1-
12.5%=87.5%，87.5%=87.5%；（2）56-7=49（箱），49÷50=87.5%。學生的學習積極性被教師的問題設計調(diào)動起來了，課堂活了起來。
在變式訓練中為了節(jié)省時間，我以題卡的形式將訓練的題下發(fā)給學生，達到訓練的強度。
三、培養(yǎng)學生解決問題的能力，要從小培養(yǎng)學生從生活化的情景中提煉出數(shù)學語言
為了讓學生感受數(shù)學來源于生活，生活中處處有數(shù)學，學有價值的數(shù)學，北師大版教材在解決問題教學中比較注重圖文并茂，
從低年級起讓學生看圖、說話來解決問題。教材這樣的設計引發(fā)了學生的探究情感，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識，鍛煉了學生的說話能力，增強了學生濃厚的數(shù)學學習興趣，在一定程度上激發(fā)了學生的學習動機。但同時教師在教學中也發(fā)現(xiàn)了一些問題，學生在高年級解決問題的能力下降了，學生在課堂上說不出老師所希望的理由，很難根據(jù)已有的信息提出有價值的問題，對一些數(shù)學語言理解困難。我認為主要原因是教師在低年級教學時只重視學生的說話，而沒有對學生的話進行提煉，教師沒有向?qū)W生滲透題型的結(jié)構，沒有滲透簡單的數(shù)量關系，學生只會做眼前的題，條件一變換，就無從下手了。掌握數(shù)學解決問題題型的結(jié)構對學好數(shù)學非常重要。再說，在一個班集體里學生的認知參差不齊，單憑幾個學生的說是達不到教學目標的，我們要考慮到大部分學生的認知水平，所以教師在學生說的基礎上要進行語言的提煉，使學生掌握題型的結(jié)構。
四、培養(yǎng)學生解決問題的能力，教師的語言要做到嚴謹、準確
摘要：數(shù)學來源于生活，同時又服務于生活。運用所學的數(shù)學知識解決生活中的實際問題這就是數(shù)學的價值所在。在數(shù)學的學習過程中，解決問題是部分學生學習的難點，特別是一些學困生一看到文字就眉頭緊皺，列不出算式。實際上解決問題就是應用所學的數(shù)學知識解決生活中的實際問題，所以作為教師首先讓學生感受到數(shù)學是有用的科學，它能解決我們生活中遇到的實際問題。
關鍵詞：解決問題，教學，數(shù)學能力，培養(yǎng)
在解決問題的教學中，我認為應根據(jù)具體的情況采用一些策略。比如：行程問題解決問題分數(shù)應用題等通常用畫線段圖分析題意的方法。工程問題的解決問題及一些一般的解決問題通常采用從問題入手分析題意，幫助學生理清數(shù)量之間的關系。再有就是盡量選一些接近學生生活實際并且感興趣的解決問題去做，讓學生感受到數(shù)學原來很有用，使他們樂學好學.在傳統(tǒng)的解決問題教學中，我們也形成了許多解題策略，如：解答解決問題的一般步驟（理解題意、分析數(shù)量關系、列出算式、回答和檢驗）、畫圖、逆推、猜想、嘗試和簡化題目等策略。對這些解題策略的教學我們已積累了一定的經(jīng)驗，但要在傳統(tǒng)教學的基礎上繼承與創(chuàng)新。不過，這些策略的形成過程是以教師講授、告訴學生為主，還是通過豐富的活動讓學生自主領悟為主。在解決問題的教學中，我們依然要強調(diào)對基本的數(shù)量關系的認識和分析。
我們還是要讓學生通過動手、動口、動腦，在充分利用自己的生活經(jīng)驗直覺地把握數(shù)量之間關系的基礎上，再抽象、概括出基本的數(shù)量關系，將學生的認識上升到理性層面，這樣學生才會真正運用數(shù)學來解決問題。在解決問題的教學中，我們還要進行分析方法的指導和滲透，讓學生逐步掌握分析與思考問題的方法，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。
最后，加強估算，鼓勵解決問題策略的多樣化，估算在日常生活與數(shù)學學習中有著十分廣泛的應用，培養(yǎng)學生的估算意識，發(fā)展學生的估算能力，讓學生擁有良好的數(shù)感，具有重要的價值。如：一本故事書5元，全班64人，每人買一本大約需要多少錢？
那么，在小學數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生解決問題的能力呢？
關鍵詞：類比推理；高中數(shù)學教學；內(nèi)在規(guī)律
學生要想掌握好知識，應當多思考多觀察，認真研究題目中潛在的規(guī)律，以便獲取最快的解決問題的方法。類比推理是一種解決問題的新方法和新途徑，可以幫助學生開拓思維，激勵學生思考問題。在高中數(shù)學的學習中，我們應當掌握類比推理的方法，這樣就可以根據(jù)學會的方法和規(guī)律，通過推理判斷解決遇到的新問題，探索他們的相似性以及潛在的相似規(guī)律，從而獲得有效的解決問題的方法。類比推理在高中的數(shù)學教學中具有舉足輕重的作用，教師應當在教學中積極滲透類比推理的精髓，讓學生掌握這種類比推理的方法，培養(yǎng)他們獨立思考的能力。
一、類比推理在高中數(shù)學教學中的重要作用
1.有利于學生自主學習數(shù)學新知識
類比推理屬于一種科學的研究方法，它既可以幫助我們熟練掌握所學的內(nèi)容，又為我們探索新的科學領域提供了一種新方法，我們可以根據(jù)已經(jīng)掌握的方法，推理到我們未知的知識領域。例如，當我們學習了拋物線的知識時，就可以利用掌握的拋物線的知識，去推理橢圓和雙曲線的規(guī)律，所以說，學生可以利用類比推理的方法，自學橢圓和雙曲線這兩節(jié)的內(nèi)容，教師應當做出相應的指導工作，及時解答學生的問題。
2.有利于學生探求新結(jié)論
類比推理作為一種新的學習方法，既可以引導學生自主學習，又可以指引學生探索新的問題領域。例如，面對空間問題的一些規(guī)律的時候，我們可以根據(jù)掌握的平面知識的理論，運用類比推理的方法，延伸到空間問題中，從而獲得空間問題的理論。簡言之，就是將平面理論類比到空間問題中，運用空間立體思維方法，想象空間中點、線、面、角的關系，最終得到空間理論規(guī)律。類比推理方法可以激勵學生思考問題，開拓學生的發(fā)散思維，提升學生的數(shù)學素質(zhì)能力。
3.有利于幫助學生樹立解題新思路
類比推理在高中數(shù)學中，不只可以讓學生學習一種新的解題方法，更重要的是使學生學會這種解題的思維模式，在以后的學習中，能夠熟練應用類比推理法解決類似的問題。類比推理有三種不同的方法，首先是結(jié)構類比，這類問題要求學生找到兩種對象在結(jié)構上的相似性，進而發(fā)掘解決該類問題的方法；其次是結(jié)論類比，這類問題要求學生根據(jù)已經(jīng)掌握的解決問題的結(jié)論，與未知的問題進行類比，進而發(fā)掘解決該類問題的方法；最后是降維類比，這類問題主要解決空間結(jié)構中維度較多的問題，學生可以將其類比到平面圖形或者維數(shù)較少的圖形，就可以找到解決問題的方法。
二、類比推理在高中數(shù)學教學中的應用
1.在數(shù)學概念形成過程中的應用
高中的數(shù)學概念處于不同的章節(jié)中，相對來說比較零散，然而數(shù)學知識點并不是獨立存在的，他們之間有著某種共同點，利用類比推理的方法，能夠?qū)⒘闵⒌闹R點綜合起來，才能使學生更加清晰地掌握這些概念的關系。學生將零散的知識系統(tǒng)化，在腦海中形成一個全面的知識網(wǎng)，才能增強學生對知識的理解和記憶。
2.在整合知識方面的應用
盡管有些知識的概念并不完全相同，但是他們都有相同的特點，只要掌握了一個知識點，利用類比推理方法，其他知識點也會全部掌握。例如，對于向量這節(jié)內(nèi)容的學習，我們要學會共線向量、共面向量以及空間向量三個概念，教師在授課時，可以一個一個概念的講解，先讓學生學習并掌握共線向量的特點，再運用類比推理，使學生了解并學習共面向量以及空間向量的概念和特點。這種類比推理方法可以讓我們掌握的知識更加系統(tǒng)化，更加清晰有條理，這樣才能讓學生對知識的掌握更加清晰明了。
3.在提出、解決問題方面的應用
在高中數(shù)學教學實踐中，學生不僅要聽課，還要自己思考問題，將課本上的知識轉(zhuǎn)化為自己的知識。教師應當起到良好的指導作用，引導學生善于提出問題，培養(yǎng)其思考問題的能力，提高其運用類比推理法解決問題的能力。例如，教師在講復合函數(shù)時，已知一個函數(shù)表達式為f（x）=-x+5，需要寫出f（3x-1）的表達式。教師寫出題目以后，讓學生討論研究得出結(jié)論，學生得出的結(jié)果是f（3x-1）=-（3x-1）+5=6-3x。該問題解決后，教師又給學生出了一個類似的題目讓學生思考，已知f（x+1）=5x+5，求f（x）的表達式。學生運用類比推理法思考與討論，得出結(jié)果f（x+1）=（x+1）2+3（x+1）+1，因此可以得到f（x）的表達式為x2+3x+1。
關鍵詞： 數(shù)學能力 以直代曲 近似代替精確
數(shù)學能力是一種特殊的能力，它包括運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和分析、解決實際問題的能力，分析和解決問題的能力是指運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力，它是以前三者為其結(jié)構成分的綜合能力。
下面結(jié)合筆者在高職院校中《高等數(shù)學》課程的教學實踐談談如何通過微積分三大概念――極限、導數(shù)、積分的引進和建立過程揭示以直代曲、由常量到變量、有限到無限、具體到抽象、局部到整體的辯證的思維過程與思想方法，進而培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。
1.極限思想
極限概念是微積分中最基本的概念，微積分中幾乎所有的概念，如導數(shù)、積分都是用極限概念表達的，是特定過程、特定形式的極限，極限方法貫穿于微積分的始終。
我國魏晉時杰出數(shù)學家劉徽的“割圓術”就含有樸素的極限思想，是極限思想的具體體現(xiàn)，所以在極限概念教學時，我引導學生采用“割圓術”求圓面積滲透極限思想，具體做法如下。
（1）解釋劉徽的“割圓術”。
（2）作圓內(nèi)接正多邊形，教師指出由直線圍成的正多邊形面積，它不能代替曲線（圓）圍成的面積，怎樣解決這一問題呢？
（3）學生經(jīng)過思考會總結(jié)出：如果正多邊形邊數(shù)n無限增大就會發(fā)生質(zhì)的飛躍，正多邊形變成圓，正多邊形面積變成了圓面積。
采取以上講解過程，會很好地幫助學生理解數(shù)列極限定義，體會到極限定義中蘊含著的量變向質(zhì)變轉(zhuǎn)化的辯證思想，初步認識“以直代曲”，“從有限到無限”，“由近似求精確”這種有別于初等數(shù)學的全新的數(shù)學方法和思想。而這種極限的思想對今后微積分其他概念的建立，對提高學生邏輯思維能力，進而提高分析和解決問題的能力有非常大的幫助。
2.微分思想
微分學是從數(shù)量關系上描述物質(zhì)運動的數(shù)學工具，基本概念是導數(shù)與微分。
在導數(shù)概念教學中，我設計了幾個問題引導學生運用極限概念中體現(xiàn)的辯證思維形式研究討論，解決引出導數(shù)概念的例題：求變速直線運動的瞬時速度。
（1）怎樣把非勻速直線運動轉(zhuǎn)化為勻速直線運動研究？即“以勻代不勻”，“以常量代變量”。
學生通過探索，發(fā)現(xiàn)直接“以勻代不勻”，用平均速度代瞬時速度，誤差會很大，聯(lián)想到求圓面積的思想方法和研究極限概念的思路，考慮到若把時間段分割成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上“以勻代不勻”，用平均速度代瞬時速度誤差較小。
（2）怎樣把小區(qū)間內(nèi)的平均速度轉(zhuǎn)化為某一時刻的瞬時速度呢？
學生探索的結(jié)果是縮小區(qū)間，但每一次縮小后仍然是平均速度，要把平均速度轉(zhuǎn)化為某一時刻的瞬時速度，必須令t0，即必須使用極限的手段才能有質(zhì)的飛躍。當t0時，定值，從而得到非勻速直線運動某一時刻的瞬時速度。
（3）師生共同討論小結(jié)，得出解決這類問題的思路：研究變量在某一點的變化率問題要使用分割的方法，在小區(qū)間內(nèi)用常量代替變量；再施以極限的手段，使小區(qū)間無限變小得到新的常量，最后得到變量在某一點的定量描述。在幾何意義上，這個過程是直與曲的轉(zhuǎn)化，在數(shù)量關系上，就是近似與精確的轉(zhuǎn)化。
3.積分思想
用與微分同樣的思路建立定積分概念時，學生已能夠熟練地把曲邊梯形“化整為零”，然后再“積零為整”。通過求一個新型的極限，即求和式當n∞時的極限來定義定積分了。主要引導學生按以下步驟求由閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)曲線y=f（x）≥0，直線x=a，x=b與x軸能圍成的曲邊梯形面積。
一、教學重點
1．數(shù)學思想方法．
2．教材的重點、高考的熱點
3．依據(jù)新課標，夯實基礎，突出新增內(nèi)容.新課程增加內(nèi)容中的向量的教學及函數(shù)、解析幾何、立體幾何、數(shù)列等是重點.
4．注意以單元塊的縱向復習為主到綜合性橫向發(fā)展為主.
從數(shù)和形的角度觀察事物，提出有數(shù)學特點的問題，注重知識間的內(nèi)在聯(lián)系與綜合；注意知識的交叉點和結(jié)合點.
二、教學細節(jié)問題
1．以能力為中心，以基礎為依托，調(diào)整學生的學習習慣，調(diào)動學生學習的積極性，讓學生多動手、多動腦，培養(yǎng)學生的運算能力、邏輯思維能力、運用數(shù)學思想方法分析問題解決問題的能力.教師應精講，讓學生多練.一般地，每一節(jié)課讓學生練習20分鐘左右，充分發(fā)揮學生的主體作用.
2．堅持集體備課，加強學習，多聽課，探索第一、二輪復習的教學模式.
3．腳踏實地抓落實．（1）當日內(nèi)容，當日消化，加強每天必要的練習檢查督促.（2）堅持每周一次小題訓練，每周一次綜合訓練.（3）周練與綜合訓練，切實把握試題的選取，切實把握高考的脈搏，注重基礎知識的考查，注重能力的考查，注意思維的層次性（即解法的多樣性），適時推出一些新題，加強應用題考查的力度.每一次考試試題堅持集體研究，努力提高考試的效率.① 注意研究高考考試說明及近5年高考試題，特別是近2年的高考試題.②在綜合練習中，不縮小考試難度，既注意重點知識的考查，又注重對數(shù)學思想和方法的考查.③在綜合練習中注意實踐能力的考查，要求學生能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題；能閱讀、理解對問題進行陳述的材料；能夠?qū)λ峁┑男畔①Y料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型；應用相關的數(shù)學方法解決問題并加以驗證，并能用數(shù)學語言正確地表述、說明．④在綜合練習中注意創(chuàng)新意識的考查：要求學生能對新穎的信息、情境設問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應用所學的數(shù)學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題．⑤在綜合練習中注意個性品質(zhì)要求的考查：要求學生能具有一定的數(shù)學視野，認識數(shù)學的科學價值和人文價值，崇尚數(shù)學的理性精神，形成審慎思維的習慣，體會數(shù)學的美學意義．要求考生克服緊張情緒，以平和的心態(tài)參加考試，合理支配考試時間，以實事求是的科學態(tài)度解答試題，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，體現(xiàn)鍥而不舍的精神．
4．加強應試心理的指導．為學生減壓，開啟他們心靈之窗，使他們保持最佳狀態(tài).
5．高考數(shù)學試卷上的題與我們平日練習的題目不一樣,怎么辦?復習時應注意什么?（1）力求作到“三個避免”： 避免需要死記硬背的內(nèi)容； 避免呆板的試題；避免煩瑣的計算．（2）“用學過的知識解決沒有見過的問題”．利用已有的知識內(nèi)容、思想方法和基本能力，自己去研究試題所提供的新素材，分析試題所創(chuàng)設的新情況，找出已知和未知間的聯(lián)系，重新組織若干已有的規(guī)則，形成新的高級規(guī)則，嘗試解決試題所確立的新問題．
6．對重點知識與重點方法要真正理解，并且理解準、透．如概念復習要作到：靈活用好概念的內(nèi)涵和外延，分清容易混淆的概念間的細微差別，防止誤用或錯用；全面準確把握好所用概念的前提條件；熟練掌握表示有關概念的字符、記號．
從數(shù)學教育的角度看，問題解決的意義是以積極探索的態(tài)度，綜合運用已具有的數(shù)學基礎知識、基本技能和能力，創(chuàng)造性地解決來自數(shù)學課或?qū)嶋H生活和生產(chǎn)實際中的新問題的學習活動。簡言之，就數(shù)學教育而言，問題解決就是創(chuàng)造性地應用數(shù)學以解決問題的學習活動。數(shù)學教學的主要任務是教給學生在實際生活和生產(chǎn)實踐中最有用的數(shù)學基礎知識，并在教學過程中有意識地培養(yǎng)學生應用這些知識分析和解決實際問題的能力。筆者認為，從目前中國的實際情況出發(fā)，重要的是在中學數(shù)學課程中去體現(xiàn)問題解決的思想精髓，這就是它所強調(diào)的創(chuàng)造能力和應用意識。
一、重視數(shù)學基礎知識教學和基本技能訓練，為問題解決打好基礎
當人們面臨新情景、新問題，試圖去解決它時，必須把它與自己已有知識聯(lián)系起來，當發(fā)現(xiàn)已有知識不足以解決面臨的新問題時，就必須進一步學習相關的知識，訓練相關的技能。應看到，知識和技能是培養(yǎng)問題解決能力的必要條件。在提倡問題解決的時候，不能削弱而要更加重視數(shù)學基礎知識的教學和基本技能的訓練。教給學生哪些最重要的數(shù)學基礎知識和基本技能，是問題的關系。目前，《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱》中關于課程內(nèi)容的確定，已為更好地培養(yǎng)我國高中學生運用數(shù)學分析和解決實際問題的能力提供了良好的條件。我們要繼承高中數(shù)學教材編寫中重視數(shù)學基礎知識和基本技能的優(yōu)良傳統(tǒng)和豐富經(jīng)驗，編出一套高質(zhì)量的高中數(shù)學教材，以下僅對數(shù)學概念的處理談點看法。數(shù)學概念是數(shù)學研究對象的高度抽象和概括，它反映了數(shù)學對象的本質(zhì)屬性，是最重要的數(shù)學知識之一。概念教學是數(shù)學教學的重要組成部分，正確理解概念是學好數(shù)學的基礎概念教學的基本要求是對概念闡述的科學性和學生對概念的可接受性。目前，對中學數(shù)學概念教學，有兩種不同的觀點：一種觀點是要“淡化概念，注重實質(zhì)”，另一種觀點是要保持概念闡述的科學性和嚴謹性。高中數(shù)學課程的建設也面臨著同樣的問題。筆者認為，對這一問題的處理應該“輕其所輕，重其所重”，不能一概而論。提出“淡化概念，注重實質(zhì)”是有針對性的，它指出了教材和教學中的一些弊端。一些次要和學生一時難以深刻理解但又必須引入的概念，在教學中必須對其定義作淡化（或者說淺化）的處理，有的可以用白體字印刷，來表明概念被淡化。但一些重要概念的定義還是應以比較嚴格的形式給出為妥，否則，雖然老師容易判定這些概念的定義是被淡化的，但是學生容易對概念產(chǎn)生誤解和歧義，關鍵在于教師在教學中把握好度，突出教學的重點。還有一些概念，在數(shù)學學科體系中有重要的地位和作用，對這類概念，不但不能作淡化處理，反之，還要花大力處理好，讓學生對概念能較好地理解和掌握。例如，初中幾何的點概念、高中數(shù)學的集合等概念，是人們從現(xiàn)實世界廣泛對象中抽象而得，在教材處理中要讓學生認識到概念所涉及的對象的廣泛性，從而認識到概念應用的廣泛性，另外學生也在這里學到了數(shù)學的抽象方法。對于數(shù)學概念，應該注意到不同數(shù)學概念的重要性具有層次性?？傊?，對于數(shù)學概念的處理，要取慎重的態(tài)度，繼承和改革都不能偏廢。
二、通過鼓勵學生猜想和探索，提高學生解決實際問題的能力
要培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，首先是要讓學生具有積極探索的態(tài)度，猜想、發(fā)現(xiàn)的欲望。教材要設法鼓勵學生去探索、猜想和發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生的問題意識，經(jīng)常地啟發(fā)學生去思考，提出問題。學生學習的過程本身就是一個問題解決的過程。當學生學習一門嶄新的課程、一章新的知識、乃至一個新的定理和公式時，對學生來說，就是面臨一個新問題。例如，高中數(shù)學課是在學生學習了初中代數(shù)、幾何課以后開設的，學生對數(shù)學已經(jīng)有比較豐富的感性認識，教科書中是否可以提出，或者說應該教學生提出以下的一些問題：高中數(shù)學課是怎樣的一門課？高中數(shù)學課和小學數(shù)學、初中代數(shù)、初中幾何課有什么關系？數(shù)學是怎樣的一門科學？這門科學是怎樣產(chǎn)生和發(fā)展起來的？高中數(shù)學將要學習哪些知識？這些知識在實際中有什么用？這些知識和以后將要學習的數(shù)學知識、高中其它學科知識有些什么關系，有怎樣的地位作用？要學好高中數(shù)學應注意些什么問題？當然，對這些問題，即使是學完整個高中數(shù)學課程以后，也不一定能完全回答好，但在學這門課之前還是要引導學生去思考這些問題，這也正是教科書編者所要考慮并應該盡可能在教科書中回答的。筆者認為，在高中數(shù)學課中可以安排一個引言課。同樣，在每一章，乃至每一單元都應該考慮類似的問題。無論是教科書的編寫還是實際教學，在講到探索、猜想、發(fā)現(xiàn)方面的問題時要側(cè)重于“教”：有時候可以直接教給學生完整的猜想過程，有時候則要較多地啟發(fā)、誘導、點撥學生。不要在任何時候都讓學生親自去猜想、發(fā)現(xiàn)，那樣要花費太多的教學時間，降低教學效率。此外，在探索、猜想、發(fā)現(xiàn)的方向上，要把好舵，不要讓學生在任意方向上去費勁。
三、從現(xiàn)實生活密切相關實際問題出發(fā)，提高解決實際問題的能力
用數(shù)學是學數(shù)學的出發(fā)點和歸宿。教科書必須重視從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學課題，最后把數(shù)學知識應用于實際問題?？梢钥紤]把與現(xiàn)實生活密切相關的銀行事務、利率、投資、稅務中的常識寫進課本。當然，并不是所有的數(shù)學課題都要從實際引入，數(shù)學體系有其內(nèi)在的邏輯結(jié)構和規(guī)律，許多數(shù)學概念是從前面的概念中通過演繹而得，又返回到數(shù)學的邏輯結(jié)構。此外，理論聯(lián)系實際的目的是為了使學生更好地掌握基礎知識，能初步運用數(shù)學解決一些簡單的實際問題，不宜于把實際問題搞得過于繁復費解，以致于耗費學生寶貴的學習時間。
高等數(shù)學是理工科院校的一門重要的基礎課程,它不但為學生學習后繼課程和解決實際問題提供必不可少的數(shù)學基礎知識及常用的數(shù)學方法。而且在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力方面也起著重要的作用。高等數(shù)學教學質(zhì)量的好壞,直接影響著學生對后繼課程的學習,也直接影響著學生的學習質(zhì)量。
長期以來，許多工科院校的高等數(shù)學教學已形成了一種默認的方式：在遇到需要講解公式、定理時，教師自認為對學生講公式、定理的證明有浪費時間的嫌疑，索性簡單地介紹一下，要求學生記住公式、定理，然后把課堂的大部分時間都用在講解例題，帶領學生做關于此公式、定理的各種各樣的題型，這種教學即不講定理、公式是如何發(fā)現(xiàn)和提出的，也不說明它們是如何證明的，更不講定理、公式是如何發(fā)展和應用的，各個定理、公式之間有何聯(lián)系等等，學生只要知道公式、定理的結(jié)論，能熟練的運用公式、定理就意味著他們已掌握教學內(nèi)容，從而教學任務也就完成了，至于其推理過程講起來費時費力，再加上學時的限制，大家都只好走馬觀花了。這種教學的效果如何呢？請聽一聽過來學生的心聲吧！一個已考上研究生的學生這樣評價自己的高數(shù)學習：讓我們背公式、記定理，做計算題，我們毫不含呼，但如果讓我們做證明題，一點辦法都沒有。還有一個同學對我講，老師，我們?yōu)槭裁匆獙W習泰勒公式，泰勒公式對今后的工作有用嗎？泰勒公式的證明是如何想到的？其實有類似想法的學生也許還有許多。那么造成這些后果的原因到底出在哪里？從實質(zhì)上看，問題主要在于我們的教學主要是呈現(xiàn)前人發(fā)明的結(jié)果和狀態(tài)，完全或部分丟掉了數(shù)學發(fā)明的過程，不妨稱它為“結(jié)果教學”，如果教學僅僅為了系統(tǒng)傳授知識，僅僅為了提高學生的運算技能，這種教學就足夠了，但在大力倡導提高民族創(chuàng)新精神的今天，結(jié)果教學已完全落后于時代，它使學生“只見樹木，不見森林”，只知其然，而不知所以然，只學到了靜態(tài)的、刻板的知識，而沒有掌握數(shù)學思想方法，其實質(zhì)是降低了對學生數(shù)學能力的要求，也是無法實現(xiàn)高等數(shù)學的教育目標的。而方法才是具有活力的要素，如何解決上述兩個同學的困惑和疑問，使學生掌握鮮活的知識，如何提高和培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力？現(xiàn)代數(shù)學教學論認為數(shù)學教學是思維活動的教學，只有按照思維活動過程的規(guī)律進行教學，才能優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，提高學習的質(zhì)量。而偉大的數(shù)學家萊布尼茲也曾說過：“沒有什么比看到發(fā)明的源泉（過程）更重要了，比發(fā)明本身更重要”②。因此筆者認為教學應按照數(shù)學思維活動的規(guī)律,既教給學生數(shù)學發(fā)明創(chuàng)造的成果，又向?qū)W生展示知識的形成、發(fā)展、前進的過程，只有這樣才能有效的解決我們當前高數(shù)教學中存在的問題的。這種教學不妨稱為“過程教學”。
二、過程教學的理論依據(jù)
(一)現(xiàn)代建構主義教育觀認為學生的學習是在自己原有認知結(jié)構的基礎上的一個主動建構過程，能夠使學生的思維始終處于積極狀態(tài)的教學才是有效的教學，而過程教學正是在教學中通過展現(xiàn)數(shù)學家的思維過程（創(chuàng)造過程）、教師自己的思維過程，使學生在重新經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)、形成、改造、發(fā)展中和數(shù)學家同思考、共發(fā)現(xiàn)，師生之間的交流也實現(xiàn)了心靈與心靈零距離的有效碰撞，從而使學生能真正體會到數(shù)學家是如何選擇問題的突破口？如何合理選擇發(fā)明創(chuàng)造的方法，如何調(diào)整研究問題的方向？面對錯誤是如何修正的等等，這樣的教學不但有利于發(fā)揮學生的主動性，而且更有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性，使學生學到活生生的創(chuàng)造整理方法，同時學生的心靈也可以受到潛移默化的影響，而這種影響則是永久的，終生的留在了學生的記憶里，是學生生命的需要。
(二)從心理學的角度來講，過程教學中全體學生的不同思維展現(xiàn)，使不同的思考方法異彩紛呈，更易在同學之間產(chǎn)生影響，好的方法更易被采納，失敗的教訓更易接受，從而更有利于解決他們將來遇到的新問題，因此在教學中暴露思維活動的過程應是高數(shù)教學貫穿的生命主線。
三、過程教學的實施
在教學中如何開展過程教學呢？擬從下面幾個方面進行：
(一)概念、定理、公式的教學中，引導學生經(jīng)歷概念、定理、公式的發(fā)現(xiàn)、形成及證明思路的形成過程，讓學生掌握不同定理、公式之間的聯(lián)系和區(qū)別。
數(shù)學概念、定理的教學是數(shù)學教學中一個十分重要的環(huán)節(jié)，它是深刻理解、掌握教學內(nèi)容，成功解決問題的基礎。教材中一般只給出了概念的定義、定理的內(nèi)容，省略了概念、定理提出、證明方法的形成過程，從而給學生的學習造成了一定的困難，如何讓學生深刻理解概念、定理的本質(zhì)，體驗概念、定理提出的必要性和可行性呢？筆者認為教師應向?qū)W生提供數(shù)學概念、定理形成的有效情景，引導學生利用自己已有的知識和經(jīng)驗，通過主動探索和積極思考，親身經(jīng)歷概念是如何發(fā)現(xiàn)、形成的，最終由學生自己發(fā)現(xiàn)相應的概念與定理，這樣，學生才能真正領悟概念的本質(zhì)，弄清概念的外延，從而避免在后繼的學習中出現(xiàn)概念性錯誤。比如在講解微積分學基本定理，有兩條方案可供選擇：
其一是直接給出變上限的定積分的概念，接著推出微積分學基本定理，
評價：這種方法是大多數(shù)教師采用的方法，它能按時完成教學任務，也能使學生會用此公式進行定積分的運算，但由于缺乏對學習此公式的必要性和可行性的認同，因而學習沒有興趣，另外，這種教學也使學生缺少了一次數(shù)學思想方法和創(chuàng)造發(fā)明方法洗禮的好機會。其二是教師可在第一節(jié)定積分的概念和性質(zhì)的基礎上創(chuàng)設如下兩個問題情景：
情景1：計算及。
評價：在計算時，同學們能夠用定積分的定義計算出來，但在計算時，卻無論如何無法進行，此時他們深刻體會到利用定義計算定積分是多么復雜的，尋求計算定積分的簡單方法此刻已成為他們內(nèi)心的需求。也許此時有的同學認為可利用定積分的中值定理來解決，在剛講過中值定理的情況下，學生有這種思考是自然的，此時教師可留出時間讓學生來嘗試，通過嘗試他們會發(fā)現(xiàn)在中由于不知道ξ的值，而無法進行下去。（注：學生對問題嘗試解決的受阻又進一步提高解決問題的積極性。）
下面教師就可出示第二個問題，
情景2：有一物體在x軸上運動，設時刻t時物體所在的位置為s(t)，速度為v(t)(v(t)≥0），請討論物體在時間間隔[T1,T2]內(nèi)經(jīng)過的路程。
此時教師可引導學生利用導數(shù)、定積分的物理意義及物理學中路程的含義得出物體在時間間隔[T1,T2]內(nèi)經(jīng)過的路程，而，于是就有式子成立，由此引導大家得到猜想：速度函數(shù)v(t)在區(qū)間[T1,T2]上的定積分等于其原函數(shù)s(t)在該區(qū)間上的增量，這樣的結(jié)論是否具有普遍性呢？這樣引出變上限定積分就有了合理性。
評價：采用上述方式教學，情景1的設計首先從思想上解決了學習微積分學基本定理的必要性，讓學生體會到問題是如何提出的，更引發(fā)了學生的學習興趣，“變要我學，為我要學”，接下來通過不同學生的探索過程，又讓學生體驗到問題是如何解決；情景2的設置使學生體驗到當問題解決不下去時，如何尋找出路，達到柳暗花明的境界，那就是利用特殊化的思想把研究的問題先特殊化，變成我們熟悉的、能夠解決的問題，從特殊問題的解決中找出規(guī)律，尋求一般問題解決的思路，這種解決問題、思考問題的方法正是進行科學研究經(jīng)常采用的，對學生進行科學研究方法的訓練，也正是教學要達到的一個較高境界。
（二）在解決問題時向?qū)W生展現(xiàn)問題的提出、思路的形成、發(fā)展，調(diào)控以及修正過程。
“問題是數(shù)學的心臟”，如何通過問題解決的教學優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，使他們學會如何提出、發(fā)現(xiàn)和解決問題，應使每一個教師認真思考的問題，我們認為教師應采用適當?shù)姆椒▉肀┞?、揭示教師和?shù)學家真實的解決問題的思維過程，如，當教師遇到問題時是如何尋找突破口？在問題的解決過程中如何調(diào)控自己的思維？如何發(fā)現(xiàn)和提出新的問題？等等。我們知道證明“∈(a,b)，使f(ξ)=0或f′(ξ)=0是微分中值定理應用中的兩類重要問題，常常利用Rolle定理來解決，對于第一類問題往往通過找出f(x)的原函數(shù)F(x)，對F(x)在[a,b]利用Rolle定理證明F′(x)在(a,b)內(nèi)存在零點即可，對于第二類問題也可類似解決，可見兩個問題都轉(zhuǎn)化為求f(x)的原函數(shù)F(x)。而學生面對此類問題往往卻束手無策，不知如何下手，歷來是教學的重點更是難點，如何使學生通過例題的學習掌握規(guī)律、找出通法，掌握解決問題的實質(zhì)和關鍵應是提高解題教學質(zhì)量的有效途徑。
例1：設證明在(0,1)內(nèi)至少有一個x滿足方程
師：討論方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)的根的存在性問題，一般有兩種途徑：（1）利用連續(xù)函數(shù)的零點定理，（2）尋找f(x)的一個原函數(shù)F(x)，使F′(x)=f(x)，且F(a)=F(b)利用Rolle定理就可找到原方程的根。下面利用第二種途徑來解決。如何利用羅爾定理了解決這個問題呢？（注：在問題思路的探討過程中，教師一定要留出時間和空間，讓學生利用所學的知識通過自己的思考，探討思路是怎樣發(fā)現(xiàn)的。）
生1：令，而f(x)的哪一個原函數(shù)可滿足F′(x)=f(x)且F(0)=F(1)？
經(jīng)過幾分鐘的觀察……,生2：取，則F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)可導，且F(0)=F(1)=0故有Rolle定理知，至少存在一個x∈(0,1)，使得F′(x)=0，
評價：解題教學重在引導學生找到解決問題的思路、方法，通過上述問題的學習讓學生明白尋找原函數(shù)是解決此類問題的關鍵。
（三）在結(jié)論的完成階段向?qū)W生展現(xiàn)結(jié)論的延伸、聯(lián)系及新問題的發(fā)現(xiàn)過程。
一個問題的結(jié)束是否意味著教學任務的完成呢？在大多數(shù)情況下，教師迫于教學時數(shù)的限制，在解決完一個問題后就開始了另一個問題的講解，這樣的教學看似學生學習了許多東西而實質(zhì)上這種教學充其量只完成了知識目標的教學，對于學生能力的養(yǎng)成，特別是數(shù)學意識的養(yǎng)成關注很少，更不要說學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)了。我們知道一個問題的解決往往意味著新的問題的提出和發(fā)現(xiàn)，因此我們在一個問題講解完之后，不要急于提出另外一個問題，應引導學生對原有問題的反思、消化，從舊的結(jié)論中提出新的見解，比如可啟發(fā)學生思考如下問題：這個問題的解法和前面類似問題的解法有什么聯(lián)系和區(qū)別，我們?nèi)绻言袉栴}的條件加強或減弱，結(jié)論將如何變化，在此題的條件下還能得到哪些結(jié)論，各個結(jié)論之間是如何聯(lián)系的等等，這種通過學生自己的思考來尋求結(jié)論的延伸，新問題的發(fā)現(xiàn)，以及新舊問題之間的聯(lián)系的教學，既能培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的能力，更能增加學生的成功心理體驗，提高他們的學習興趣，從而為他們的終身學下堅實的基礎。
四、“過程教學”與“結(jié)果教學”的協(xié)調(diào)統(tǒng)一
(一)既展現(xiàn)成功的思維過程，也暴露失敗的思考過程。
在我們的教學過程中，一般整理向?qū)W生展示的都是解決問題的正確的思維過程，然而“數(shù)學的發(fā)展并非是無可懷疑的真理在教學中的簡單積累，而是一個充滿了猜想與反駁的復雜過程”，在教學中適時的暴露教師或?qū)W生失敗的思考過程，也許更能啟迪學生的思維，使學生在自我反省中優(yōu)化思維品質(zhì)。在教學中暴露教師是如何從失敗走向成功的全過程，學生學到的是真正的研究問題的方法，同時還學到了數(shù)學家百折不撓的品質(zhì)和精神。每堂課一開始要花點時間糾正作業(yè)中典型錯誤,每次布置1-2道富有思考些的題目,讓同學回去思考.下堂課再討論，套公式的題目,課堂上不講。因此暴露思維過程即要展示成功的過程，更要適當體現(xiàn)一些錯誤思維的暴露、調(diào)控及糾正過程。
例2：設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，證明：至少存在一點ξ∈(a,b)，
分析：結(jié)論可轉(zhuǎn)化為證明：，使(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0。
生1：在(a,b)上運用Rolle中值定理來解決呢？
生2：由于不知道f(x)在x=a,b的值，不能直接運用。
生3：我們可以構造一個函數(shù)F(x)，使F(x)在x=ξ的導數(shù)正好是(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0，
師：哪一個函數(shù)在x=ξ的導數(shù)是(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0。
生3：取F(x)=(b-x)[f(x)-f(a)]，則F(a)=F(b)=0，而由已知條件可知F(x)在[a,b]上連續(xù)、在(a,b)可導，所以由羅爾定理知：∈(a,b)F′(ξ)=(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)=0，既∈(a,b)，使。
在上述問題的解決過程中，通過生1的思維受阻，啟迪其他學生的思維，為正確思路的形成奠定了基礎。
(二)選擇恰當?shù)慕虒W內(nèi)容。
并不是所有的教學內(nèi)容都適合運用過程教學，我們知道教材中有些內(nèi)容，其發(fā)現(xiàn)過程是極其艱難和漫長的，比如在講解數(shù)列極限概念時，要求學生在較短的時間內(nèi)，去想象和發(fā)現(xiàn)，是不現(xiàn)實的，而有些內(nèi)容發(fā)現(xiàn)則來自于數(shù)學家突然間的靈感，這些內(nèi)容發(fā)現(xiàn)的思維過程連科學家自身都不能很好的說清，何況我們的學生呢，因此在進行過程教學時，教師要認真鉆研教材，選擇恰當?shù)膬?nèi)容通過過程教學使學生掌握研究問題的方法，近而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。
一、探究式教學對傳統(tǒng)教育模式的挑戰(zhàn)
時代進步了，社會發(fā)展了，原來的應試教育已經(jīng)遠遠不能滿足時代對人們的要求，現(xiàn)在的社會要求學生要有能適應社會的素質(zhì)，能為社會做出一定貢獻的能力，能跟得上時代的步伐。而原來因為畸形教育所導致的高分低能、紙上談兵的學生，必將為社會所淘汰。所以，在于提高學生綜合素質(zhì)的素質(zhì)教育就成為教育改革的首選。數(shù)學改革很多年來，數(shù)學教學當中重教輕學，教師的主導作用和學生的主體作用脫節(jié)的現(xiàn)象依然存在。教材中的知識多以介紹的性質(zhì)出現(xiàn)，缺少知識探究的背景，不利于學生開動腦筋，積極主動地探究問題的實質(zhì)，那么為了把知識教好教活，就要進行探究性教學?！疤健本褪翘剿?，指觀察發(fā)現(xiàn)問題；“究”就是研究，指分析、解決問題。通過“探”和“究”，改變學生單純接受教師傳授知識的學習方式，把教學重點放到學生獲取知識的方法和能力上，加大了學生參與學習知識的主動性，為學生創(chuàng)造一個寬松開放的學習環(huán)境，為學生提供獲取知識的多種渠道，并且進一步培養(yǎng)學生良好的學習習慣。
二、探究式教學的特點
在探究式教學的過程中，學習的內(nèi)容是在教師的指導下，學生自己確定研究課題，學習方式不是被動地記憶或理解教師所講的知識，而是主動地發(fā)現(xiàn)和提出問題，積極地尋求解決問題的方法。因此教師可以例舉事例、介紹背景或設計情景來引出學習內(nèi)容，鼓勵學生去發(fā)現(xiàn)問題，探究解決問題的方法，并自己得出結(jié)論。那么這樣的學習效果不言而喻，肯定也會非常的高效。結(jié)合數(shù)學教學的實際經(jīng)驗，筆者認為探究式教學具有以下幾種特征。
1.重視背景介紹，通過概括形成概念、法則。教學中的每一個概念的產(chǎn)生，每一個法則的規(guī)定都有豐富的知識背景，如果舍棄這些背景，直接教給學生一些概念和法則，學生就會覺得概念非常抽象，難以理解，那么這些概念和法則就是無源之水，無本之木，學生又怎么會有深刻的理解呢？所以注定學習的積極性和學習的效率都會非常低。而探究式教學就完全可以避免這些弊端。在教學過程中，首先要介紹概念形成的原因，讓學生理解概念是怎樣產(chǎn)生的，就會激起學生學習的興趣，更會加深對概念的理解，記憶當然也就會非常牢固，學習的效率自然而然也就會大幅度提升。
2.提供開放性問題，通過探索發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論。數(shù)學中的每一個定理和結(jié)論都是在前人艱苦的努力下得出的，都是數(shù)學先輩們智慧的結(jié)晶。即使是一個非常簡單的命題，我們也非常有必要讓學生通過自己的努力來驗證它的正確性。這樣學生通過自己的冥思苦想和親自動手，不僅僅鍛煉了學生的頭腦靈活性，也讓他們體會到先輩們的不易，樹立對先輩們的尊敬觀念，同時還能使學生有一種成就感。另外一種好處是培養(yǎng)了他們的動手能力和解決問題的能力，樹立了一定的自信心，對學生在以后的學習生活中都會起到非常積極的作用。
3.創(chuàng)設問題情境，通過研究制定解決方案。問題解決能力是數(shù)學能力的集中表現(xiàn)，我們數(shù)學教學的目的不僅僅是教給學生數(shù)學知識，更重要的是教給學生學習數(shù)學的態(tài)度，讓學生樹立一種自我解決問題的意識。而過去的教學模式往往只是教給學生現(xiàn)成的知識，舍棄了對問題的加工處理過程，舍棄了制定解決問題方案的過程，學生聽起來會感到非常輕松，但是數(shù)學能力卻未必得到真正提高，探究式教學則有效地強化問題意識，給學生展現(xiàn)對問題的加工處理過程和解決方案的制定過程，既磨練了學生的意志品質(zhì)，又培養(yǎng)了學生解決問題的能力。
4.營造民主氛圍，通過比較優(yōu)化解題方法。在數(shù)學中，一個問題往往不是僅有一種解決辦法，而是有幾種，并且每種方法思路不同，對學生思考能力的鍛煉也不同。探究式教學，一方面要打破權威，營造民主的氛圍，充分傾聽學生的意見，即使走彎路，費時間都無所謂，重點是讓學生自己去探索問題的解決過程。另一方面，要引導學生能各抒己見，暢所欲言，積極探討，對問題所提出的各種解決方案，敢于進行評判比較，然后選出最佳的答案。這樣不僅鍛煉了學生的合作精神，而且還開拓了學生的思維。
三、探究式教學的幾種常見方法
1.問題情景探究。數(shù)學教學的核心是培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的思維能力，教師應當精心創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生思維的火花，調(diào)動學生學習的積極性和主動性，讓學生積極參與使其敢于質(zhì)疑，敢于創(chuàng)新求異。
2.歸納探究。數(shù)學中的一些定理、公式、法則都是通過歸納得出的，在教學過程中讓學生積極參與到問題的歸納探究過程當中，就等于培養(yǎng)了學生對問題的探究能力與抽象概括能力。
3.類比探究。讓學生把一些具有相似性的問題進行類比，在類比的過程中發(fā)現(xiàn)問題的共性與差異，了解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成系統(tǒng)的知識體系。
四、在數(shù)學教學中怎樣更好地實施探究式教學
1.優(yōu)化課堂教學。首先，要認真研究教材和大綱，充分做好課前準備工作。上課時把學習的主動權交給學生，給學生提供較充足的探究時間，并且對學生在探究過程中所出現(xiàn)的問題及時進行點撥。其次，要非常清楚地了解每個學生的特點，對不同層次的學生進行不同的激勵辦法，充分發(fā)揮每個學生的能力。
2.正確運用現(xiàn)代化教育信息技術。信息化技術在教學中越來越成為教學不可缺少的一部分，多媒體為數(shù)學教學帶來勃勃生機，大大提高了課堂教學的效率。比如，在教學二次函數(shù)時，為了提高探究式教學實效，可以讓幾個學生一起上機操作，自己畫二次函數(shù)圖象，觀察圖像的變化規(guī)律，然后進行探討、總結(jié)，達到對知識的認知和理解。
