發(fā)布時(shí)間：2023-03-22 17:36:46
序言：寫(xiě)作是分享個(gè)人見(jiàn)解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的概率統(tǒng)計(jì)論文樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
歷史發(fā)生原理認(rèn)為個(gè)體的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程與人類(lèi)的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程具有相似性．概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)可以從概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)展史中尋求指導(dǎo)，從而借鑒歷史經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，加速學(xué)生對(duì)概率知識(shí)和理論的接受過(guò)程．概率是一般教材中的基本概念，其處理方式遵循這樣的主線：概率是事件發(fā)生可能性大小的度量—頻率的穩(wěn)定值—古典概率—幾何概率—公理化定義．概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的一種度量，這一直觀概念已被普遍認(rèn)可．但這只是概率的功能性解釋?zhuān)⒉皇撬臄?shù)學(xué)定義．概率的解釋與定義是在爭(zhēng)議中發(fā)展的．客觀概率學(xué)派認(rèn)為任一事件發(fā)生的概率是其客觀屬性；相反，主觀學(xué)派則認(rèn)為概率是人的主觀判斷．客觀概率學(xué)派以拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理論》中所提出的概率古典定義為代表，即事件的概率等于有利事件的結(jié)果數(shù)與所有可能的結(jié)果數(shù)之比．然而，這種定義討論的范疇有明顯的局限性，只適用于隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果為有限等可能的情形；而且，對(duì)于同一事件，從不同的等可能性角度考慮可算出不同的概率，從而會(huì)產(chǎn)生悖論．此外，對(duì)于概率的概念又有頻率學(xué)派、貝葉斯學(xué)派、信念學(xué)派的不同認(rèn)識(shí)和觀點(diǎn)．其中頻率學(xué)派的觀點(diǎn)是大多數(shù)現(xiàn)行教材所接受的，即概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率穩(wěn)定于概率又需要在概率的意義下來(lái)刻畫(huà)．歷史上著名的貝特朗悖論使人們對(duì)“何為概率”的困惑放大到了極致，這個(gè)問(wèn)題解決不了，當(dāng)時(shí)所有研究成果就不能整合，概率理論成了不體系，也無(wú)法形成一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科．而要解決這個(gè)問(wèn)題，就要給出概率的嚴(yán)格定義，將概率論公理化，并在此基礎(chǔ)上推演概率的理論體系．公理化是19世紀(jì)末以來(lái)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中廣泛流傳的一股潮流——將一些假定作為無(wú)需證明的公理，其它結(jié)論則由公理演繹推出．在這種背景下，1933年俄國(guó)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛟跍y(cè)度論的基礎(chǔ)上綜合了前人的研究結(jié)果提出了概率的公理化定義．概率的公理化定義被廣泛地接受使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，對(duì)近幾十年來(lái)概率論的迅速發(fā)展起到了積極的作用．教學(xué)中，教師必須了解并熟悉概率這一概念的發(fā)展歷史，對(duì)概念有清晰準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)．在教學(xué)時(shí)穿插這些內(nèi)容，不僅可以使學(xué)生清晰準(zhǔn)確地把握概念，還可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的感性認(rèn)識(shí)，從而加深對(duì)概念的理性認(rèn)識(shí)，優(yōu)化知識(shí)接受的銜接過(guò)程，體會(huì)一個(gè)學(xué)科知識(shí)體系建立的嚴(yán)謹(jǐn)性、辯證性和復(fù)雜性，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維，發(fā)展其創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)其睿智和實(shí)事求是的人格．
2還原知識(shí)的歷史進(jìn)程，降低新知識(shí)的抽象性
現(xiàn)代數(shù)學(xué)教材普遍都是按照知識(shí)的內(nèi)在邏輯進(jìn)行編排，很少按照數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究進(jìn)程進(jìn)行著作．這樣的安排在邏輯結(jié)構(gòu)上是科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但卻忽略了數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的歷史痕跡．教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)盡量地還原知識(shí)的歷史進(jìn)程，降低新知識(shí)的抽象性．正態(tài)分布是概率論中最重要的一種連續(xù)型分布，它屬于概率論的研究領(lǐng)域，但也是解決統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題的基石，它的提出具有深刻的理論背景和極其廣泛的應(yīng)用價(jià)值．在教學(xué)中對(duì)正態(tài)分布的學(xué)習(xí)，通常是直接給出概率密度或分布函數(shù)，將其稱(chēng)為正態(tài)分布．但這會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)接受生硬，理解抽象，記憶困難．理論背景上，正態(tài)分布產(chǎn)生于棣莫弗的p0.5的二項(xiàng)分布極限研究，后來(lái)拉普拉斯對(duì)p0.5的情況做了更多的分析，并把二項(xiàng)分布的正態(tài)近似推廣到了任意p的情況．二項(xiàng)分布的極限分布形式被推導(dǎo)出來(lái)，由此產(chǎn)生了正態(tài)密度函數(shù)，相應(yīng)的結(jié)果稱(chēng)為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理．經(jīng)拉普拉斯等學(xué)者的研究，20世紀(jì)30年代獨(dú)立變量和的中心極限定理的一般形式最終完成．此后研究發(fā)現(xiàn)，一系列的重要統(tǒng)計(jì)量在樣本量n時(shí)，其極限分布都具有正態(tài)形式．?dāng)?shù)學(xué)家進(jìn)而合理地解釋了為什么實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量或者統(tǒng)計(jì)量都近似服從正態(tài)分布，可以說(shuō)這是概率統(tǒng)計(jì)中具有里程碑意義的發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)教材中一般是先認(rèn)識(shí)正態(tài)分布，中心極限定理則在此之后學(xué)習(xí)．在學(xué)習(xí)正態(tài)分布的定義之前，教師可以設(shè)計(jì)一些具有明顯正態(tài)性現(xiàn)象的數(shù)據(jù)，而后進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，給出頻率直方圖，并解釋這種具有兩頭小、中間大的分布現(xiàn)象是普遍的，也是常態(tài)的．對(duì)概率論中常見(jiàn)分布的知識(shí)背景的了解和掌握，有助于教師在課程設(shè)計(jì)和講授過(guò)程中注意課程內(nèi)容的銜接和承上啟下的相互關(guān)系．借助數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的進(jìn)程史實(shí)，可降低新知識(shí)的抽象性，使學(xué)生易于接受和掌握，并提高應(yīng)用的靈活性．
3注重統(tǒng)計(jì)思想，引導(dǎo)靈活應(yīng)用
“概率統(tǒng)計(jì)”是一門(mén)具有實(shí)踐性與理論性的重要學(xué)科，在不斷發(fā)展的過(guò)程中已經(jīng)成為數(shù)學(xué)科目不可或缺的組成部分，并且對(duì)此起到重要的作用。在根據(jù)課程的相關(guān)特點(diǎn)中，利用現(xiàn)代科學(xué)進(jìn)行審視與組織，從而使數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)中融入新鮮元素，在教學(xué)內(nèi)容上引入有趣的應(yīng)用題目，并且要對(duì)科學(xué)方法以及相關(guān)技術(shù)、概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系。學(xué)生在運(yùn)用“概率統(tǒng)計(jì)”知識(shí)的基礎(chǔ)上們能夠建立數(shù)學(xué)模式，對(duì)“概率統(tǒng)計(jì)”的知識(shí)也會(huì)產(chǎn)生興趣愛(ài)好。除此之外，還能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的改變，變被動(dòng)為主動(dòng)，從根本上提高學(xué)習(xí)效率。將數(shù)學(xué)建模的思想積極融入到數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)之中，能夠在不打破傳統(tǒng)知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)用案例進(jìn)行解決。通常情況下，學(xué)習(xí)通過(guò)對(duì)案例的學(xué)習(xí)，能夠親自體驗(yàn)在使用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過(guò)程，從而加深對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的認(rèn)知與理解，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)習(xí)慣。從另一個(gè)角度而言，學(xué)生在努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概率知識(shí)的同時(shí)，能夠真正做到“學(xué)以致用”，由于數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)是一門(mén)重要且復(fù)雜的課程，在不影響到教學(xué)大綱的情況下利用多種手段進(jìn)行教學(xué)，可以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的基本能力，從根本上體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想。
二、教學(xué)方法得以改進(jìn)，促進(jìn)開(kāi)放式學(xué)習(xí)方式的形成
（一）改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，探索新型教育方式通過(guò)實(shí)踐證明，傳統(tǒng)的教學(xué)模式與方式無(wú)法適應(yīng)社會(huì)的需要，不能滿足現(xiàn)代化的教學(xué)要求，因此無(wú)法在傳統(tǒng)教育模式中取得滿意的教學(xué)效果。通過(guò)將數(shù)學(xué)建模融入到數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)之中，可以在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中融入新鮮元素，并且結(jié)合相關(guān)案例，采用啟發(fā)式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)，實(shí)現(xiàn)由淺入深、由難到易，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的基本概念以及相關(guān)方法，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，從根本上加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)與建模思想的認(rèn)識(shí)與理解。
（二）改變傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式，建立開(kāi)放型學(xué)習(xí)形式在數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容上，認(rèn)可教師不可以按照傳統(tǒng)的教學(xué)模式作為基本模式，不能按照教科書(shū)進(jìn)行照本宣科。眾所周知，數(shù)學(xué)建模是沒(méi)有固定模式的，在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，要積極利用各種方式、各種技巧，因此，教師在對(duì)學(xué)生傳授相關(guān)知識(shí)的同時(shí)，要積極引導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)習(xí)，如何正確的使用建模技巧，并且要讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題發(fā)生的背景以及過(guò)程進(jìn)行探索，從根本上提高學(xué)生的自主創(chuàng)新能力。除此之外，在對(duì)習(xí)題進(jìn)行處理時(shí)，學(xué)生也不能局限于比較充分的問(wèn)題上，要不斷引用條件不充分的問(wèn)題進(jìn)行研究，并且要自己動(dòng)手對(duì)材料、信息，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建模，并且還要對(duì)較為抽象的問(wèn)題進(jìn)行具體化，從而增強(qiáng)自身對(duì)學(xué)習(xí)的興趣與能力。此外，教師要不斷開(kāi)展討論課，讓學(xué)生積極發(fā)表自己的建議，對(duì)問(wèn)題的見(jiàn)解進(jìn)行回答，加強(qiáng)與同學(xué)之間的交流與學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生在開(kāi)放型學(xué)習(xí)環(huán)境中不斷成長(zhǎng)。
三、改善教材中的理論學(xué)習(xí)，加強(qiáng)實(shí)踐學(xué)習(xí)
在學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)之中，為了能夠使學(xué)生對(duì)知識(shí)有所了解，那么教材僬僥設(shè)計(jì)有關(guān)學(xué)生訓(xùn)練的習(xí)題。一般而言，數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)中的教材在教學(xué)內(nèi)容的處理上過(guò)于理論化，對(duì)習(xí)題的次序與搭配卻不符合學(xué)生的基本特點(diǎn)，甚至有部分教材在設(shè)計(jì)的習(xí)題中難度過(guò)高，從而導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到困難，對(duì)數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)建模失去興趣。從實(shí)際角度而言，數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)作為數(shù)學(xué)教材，習(xí)題是非常重要的，大量的習(xí)題可以鍛煉學(xué)習(xí)的邏輯性與思維型，因此，在對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行編寫(xiě)時(shí)要按照由淺入深的基本原則，對(duì)練習(xí)題進(jìn)行分門(mén)別類(lèi)的編寫(xiě)，從而滿足不同層次與不同對(duì)象的基本需求。在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)習(xí)題之中，還需增加比較有趣、與生活有關(guān)的系統(tǒng)，并且該類(lèi)習(xí)題要對(duì)數(shù)學(xué)建模的思想進(jìn)行體現(xiàn)。與此同時(shí)，在教材中還應(yīng)該添加應(yīng)用性強(qiáng)的概率案件與統(tǒng)計(jì)案件，比如像數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)的擬合等，讓學(xué)生能夠?qū)W會(huì)數(shù)學(xué)建模，在豐富學(xué)生課余知識(shí)的同時(shí)，也在一定程度上提高了學(xué)生的應(yīng)用能力。
四、結(jié)語(yǔ)
關(guān)鍵詞:概率統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)
數(shù)學(xué)建模主要是借助調(diào)查、數(shù)據(jù)收集、假設(shè)提出，簡(jiǎn)化抽象等一系列流程構(gòu)建的反映實(shí)際問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，將數(shù)學(xué)建模思想融入到概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解與掌握理論知識(shí)，同時(shí)對(duì)于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力大有裨益?？梢哉f(shuō)，概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想的融入具有重要的理論以及現(xiàn)實(shí)意義。
1.教學(xué)內(nèi)容實(shí)例的側(cè)重
在大學(xué)數(shù)學(xué)教育體系中最為重要的一個(gè)目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生建模、解模的能力，但是在傳統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，教師大多注重學(xué)生的計(jì)算能力訓(xùn)練以及數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，而常常忽視利用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的解決，使得大多數(shù)學(xué)生的應(yīng)用能力無(wú)法得到提高。所以，為了能夠在教學(xué)中提高學(xué)生應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)的實(shí)際能力，教師應(yīng)在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)中吸收與融入與實(shí)際問(wèn)題息息相關(guān)的題目，使學(xué)生在課堂中不僅能夠輕松學(xué)習(xí)概率知識(shí)，增加學(xué)習(xí)主動(dòng)性，同時(shí)能夠嘗試到數(shù)學(xué)建模的樂(lè)趣，提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，在古典型概率問(wèn)題的教學(xué)中，為了加深學(xué)生對(duì)于該部分知識(shí)的理解，教師可以引入彩票概率的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析各等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率，使學(xué)生獲得極高的建模、解模能力。
2.在教學(xué)方法中融入數(shù)學(xué)建模思想
在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，教師還需要在教學(xué)方法中融入數(shù)學(xué)建模思想。首先，采取啟發(fā)式教學(xué)方法。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)開(kāi)展認(rèn)識(shí)活動(dòng)，在問(wèn)題發(fā)現(xiàn)、分析、解決的一系列鍛煉中獲得概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的自覺(jué)領(lǐng)悟。其次，采取講授與討論相結(jié)合的教學(xué)方法。在課堂中，講授是最為基本的教學(xué)方式，不過(guò)單一的講授很可能導(dǎo)致課堂的枯燥，所以課堂中還需要適當(dāng)穿插一些討論，使學(xué)生在活躍的氛圍中激活思維，延伸知識(shí)面。再次，采取案例分析的教學(xué)方法。案例分析是在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的一種有效方法。在教學(xué)中應(yīng)用的案例應(yīng)進(jìn)行精選，其不僅需要具有典型性，同時(shí)還需要具備一定的新穎性以及針對(duì)性，通過(guò)縮短實(shí)際應(yīng)用與數(shù)學(xué)方法間的距離，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣被大大激發(fā)。最后，采取現(xiàn)代教育技術(shù)的教學(xué)方法。在概率統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題中常常需要較大的數(shù)據(jù)處理運(yùn)算量，所以為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，使學(xué)生掌握一定的統(tǒng)計(jì)軟件具有重要意義。通過(guò)結(jié)合具體的概率統(tǒng)計(jì)案例，在學(xué)生面前演示統(tǒng)計(jì)軟件中的基本功能，為提高學(xué)生掌握統(tǒng)計(jì)方法以及實(shí)際操作能力奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。知識(shí)的獲取并不是單純的認(rèn)識(shí)過(guò)程，其更應(yīng)偏向于創(chuàng)造，在不斷強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)科學(xué)本質(zhì)、掌握學(xué)習(xí)方法。
3.在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的案例分析
一個(gè)完整的數(shù)學(xué)思維必須經(jīng)過(guò)問(wèn)題數(shù)學(xué)化以及數(shù)學(xué)化問(wèn)題求解兩個(gè)方面，只有讓學(xué)生體驗(yàn)以及掌握到一般的數(shù)學(xué)思維方法，才能使其真正擁有利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。而具體分析在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的案例，能夠?yàn)橐龑?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，開(kāi)拓學(xué)生眼界奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。很多概率的實(shí)際問(wèn)題中均存在著隨機(jī)現(xiàn)象，其可以視作許多獨(dú)立因素影響的綜合結(jié)果，近似服從于正態(tài)分布。例如，某高校擁有5000名學(xué)生，由于每天晚上打開(kāi)水的人較多，所以開(kāi)水房經(jīng)常出現(xiàn)排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象，試問(wèn)應(yīng)增加多少個(gè)水龍頭才能解決該種現(xiàn)象？對(duì)于該問(wèn)題的解決，教師首先應(yīng)組織學(xué)生對(duì)開(kāi)水房現(xiàn)有的水龍頭個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，然后調(diào)查每一個(gè)學(xué)生在晚上需要有多長(zhǎng)時(shí)間才能占用一個(gè)水龍頭，最后引導(dǎo)學(xué)生分析每一個(gè)學(xué)生使用水龍頭這一情況是否是相互獨(dú)立的，通過(guò)聯(lián)想中心極限定理以及考慮每個(gè)人具有占用水龍頭以及不占用水龍頭兩種情況，得到每人占用水龍頭的概率為0.01。所以，每名學(xué)生是否占用水龍頭能夠被視作一次獨(dú)立試驗(yàn)，其能夠看作是一個(gè)n=5000的伯努利試驗(yàn)，假設(shè)占用水龍頭的學(xué)生個(gè)數(shù)為X，那么其滿足X～B(5000,0.1)，通過(guò)借助中心極限定，使得該問(wèn)題被快速解決。
論文關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)，模擬實(shí)驗(yàn)，求概率
縱觀新課標(biāo)人教版初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率章節(jié)，筆者始終感覺(jué)用鍵盤(pán)問(wèn)題做數(shù)學(xué)模擬實(shí)驗(yàn)的教學(xué)載體，學(xué)生探究熱情低調(diào)，究其原因主要是缺乏農(nóng)村學(xué)生數(shù)學(xué)生活化的體驗(yàn)。通過(guò)幾年嘗試教學(xué)與改進(jìn)，我們發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)模擬實(shí)驗(yàn)求概率的設(shè)計(jì)與應(yīng)用可從以下角度思考和探索。
一、初中數(shù)學(xué)模擬實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原則。
1、生活性。試驗(yàn)內(nèi)容要貼近學(xué)生生活,有利于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)思考與探索，內(nèi)容的組織要處理好過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系，直觀與抽象的關(guān)系，生活化、情景化與知識(shí)化的關(guān)系．課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次化和多樣化，以滿足學(xué)生的不同學(xué)習(xí)需要．[1]
2、廣泛性。避免以點(diǎn)代面，全盤(pán)考慮初中數(shù)學(xué)論文初中數(shù)學(xué)論文，分點(diǎn)試驗(yàn)。讓抽樣結(jié)果盡可能反映是按研究對(duì)象的共性特征。
3、隨意性。每次實(shí)驗(yàn)方案的實(shí)施不提前預(yù)設(shè)，圍繞方案任意活動(dòng)，并直接獲得需要的數(shù)據(jù)。
4、活動(dòng)性。有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一，學(xué)生是數(shù)學(xué)活動(dòng)的主體，教師是數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織者與引導(dǎo)者，通過(guò)活動(dòng)“致力于改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂(lè)意并有更多精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去”，才能還學(xué)習(xí)真正動(dòng)機(jī)――因活動(dòng)而快樂(lè)，因快樂(lè)而學(xué)習(xí)．[2]
二、初中數(shù)學(xué)模擬實(shí)驗(yàn)的適用條件。
由于隨機(jī)事件的結(jié)果具有不可預(yù)測(cè)性，往往解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題難以從根本上把握。分清初中數(shù)學(xué)模擬實(shí)驗(yàn)的適用條件，是進(jìn)行有效設(shè)計(jì)和準(zhǔn)確應(yīng)用的關(guān)鍵畢業(yè)論文格式范文期刊網(wǎng)。
通過(guò)對(duì)模擬實(shí)驗(yàn)相關(guān)事件的綜合分析，以及與列舉法求概率相關(guān)事件的對(duì)比，我們不難發(fā)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)求事件的概率適用條件包括每次實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或每次實(shí)驗(yàn)的各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等。[3]
三、初中數(shù)學(xué)模擬實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)程序[4]與過(guò)程
1、確定設(shè)計(jì)方案（如投飛鏢、做記號(hào)、數(shù)數(shù)量、拋硬幣、擲骰子、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)、等）。
2、擬定統(tǒng)計(jì)欄目（總數(shù)、頻數(shù)、頻率）。
3、統(tǒng)計(jì)相關(guān)數(shù)據(jù), 計(jì)算頻率與數(shù)據(jù)規(guī)律分析。
在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，可事先根據(jù)概率要達(dá)到的精確度確定數(shù)據(jù)表中頻率保留的數(shù)位。計(jì)算頻率一般保留兩位或三位小數(shù)。
關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)軟件；Maple
中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）31-0083-02
一、傳統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的問(wèn)題
（一）重概率輕統(tǒng)計(jì)
我國(guó)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中普遍存在“重概率輕統(tǒng)計(jì)”的問(wèn)題，具體表現(xiàn)為：（1）大多數(shù)工科院校概率統(tǒng)計(jì)課程只能講授到參數(shù)估計(jì)中的點(diǎn)估計(jì)部分。因?yàn)閷W(xué)時(shí)較少，統(tǒng)計(jì)推斷中重要的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)只能作為自學(xué)內(nèi)容。（2）大部分教師對(duì)于概率部分內(nèi)容非常熟練，但是統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容較為生疏。
造成這種現(xiàn)象的原因主要有以下幾點(diǎn)：（1）公共基礎(chǔ)課概率統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)一般較少，例如安徽理工大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)課一般為48學(xué)時(shí)；（2）統(tǒng)計(jì)推斷部分內(nèi)容，實(shí)用性很強(qiáng)，計(jì)算量也比較大，動(dòng)輒數(shù)百個(gè)數(shù)據(jù)。因此，如果不借助軟件僅靠人工計(jì)算確實(shí)難度很大。（3）考研概率部分的試題一般不考統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容。
（二）重理論輕應(yīng)用
概率統(tǒng)計(jì)特別是統(tǒng)計(jì)推斷部分的內(nèi)容有著很強(qiáng)的應(yīng)用背景，例如：近些年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽的賽題，幾乎都涉及到統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容。對(duì)已給數(shù)據(jù)進(jìn)行初步的檢驗(yàn)、分析比較、分類(lèi)篩選、總結(jié)回歸等，這些都是評(píng)閱要點(diǎn)中明確指出的重要得分點(diǎn)。由于教學(xué)中沒(méi)有涉及統(tǒng)計(jì)推斷部分的內(nèi)容，造成很多參賽學(xué)生只能臨場(chǎng)邊學(xué)邊做，十分被動(dòng)。
由于長(zhǎng)期輕視統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的教學(xué)，造成很多數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生在畢業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)選題范圍十分狹小，很難寫(xiě)出高水平的畢業(yè)論文。
（三）重解題技巧，輕視對(duì)學(xué)生動(dòng)手能力的培養(yǎng)
長(zhǎng)期以來(lái)概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)習(xí)題主要以手工計(jì)算為主，因此過(guò)分強(qiáng)調(diào)解題技巧。例如，古典概型的題型中需要很多排列組合的技巧、計(jì)算一些連續(xù)型變量的函數(shù)型分布和函數(shù)型數(shù)字特征時(shí)需要用到很多積分技巧等。但是很多實(shí)際的問(wèn)題，例如以統(tǒng)計(jì)推斷為背景的題型，往往更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手能力。包括對(duì)大數(shù)據(jù)的處理能力（分析數(shù)據(jù)、標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)等），以及借助常用軟件計(jì)算一些常用統(tǒng)計(jì)量的值等。由于平時(shí)疏于這方面的教學(xué)，很多學(xué)生遇到一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題往往束手無(wú)策。
二、多種數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)
引入多種數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下方面。
1.概率統(tǒng)計(jì)總課時(shí)有限，不可能系統(tǒng)地學(xué)習(xí)某一特定的統(tǒng)計(jì)軟件。針對(duì)不同問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇最為有效、最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)軟件來(lái)解決。這樣可以節(jié)約大量的時(shí)間，增加效率。本文在第四部分會(huì)結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步說(shuō)明。
2.通過(guò)多種軟件的使用，可以最大程度地?cái)U(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面，使學(xué)生學(xué)到在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中無(wú)法獲取的實(shí)用知識(shí)。
三、多種數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)的具體措施
具體如何來(lái)改善傳統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)，提高教學(xué)效率和學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力？各學(xué)?？梢愿鶕?jù)具體實(shí)際情況結(jié)和自身?xiàng)l件因地適宜地選擇不同的措施。下面給出一些建設(shè)性的意見(jiàn)。
1.開(kāi)設(shè)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)實(shí)驗(yàn)課。概率統(tǒng)計(jì)總課時(shí)并不多，課堂時(shí)間在專(zhuān)門(mén)介紹應(yīng)用以及各種軟件的使用確實(shí)時(shí)間不夠。因此，可以在原有的課時(shí)基礎(chǔ)上專(zhuān)門(mén)增加3～4次實(shí)驗(yàn)課，結(jié)合各種軟件討論和解決概率統(tǒng)計(jì)別是統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容。
2.錄制教學(xué)視頻或者直接收集相關(guān)資料。因?yàn)楦鲗W(xué)校的課時(shí)都比較緊張，如果無(wú)法開(kāi)設(shè)單獨(dú)的實(shí)驗(yàn)課可以錄制視頻，或者直接給學(xué)生提供相關(guān)的資料。最好能夠建立相關(guān)的監(jiān)察機(jī)制，這樣可以更好地引導(dǎo)和督促學(xué)生自主學(xué)習(xí)。
3.開(kāi)展相關(guān)的畢業(yè)設(shè)計(jì)和畢業(yè)論文。在高年級(jí)學(xué)生中的畢業(yè)設(shè)計(jì)和畢業(yè)論文選題中有針對(duì)性地加入一些統(tǒng)計(jì)類(lèi)型的課題。
4.利用數(shù)學(xué)建模平臺(tái)建立跨學(xué)科交流平臺(tái)。每年一次的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽給各學(xué)科提供了一個(gè)重要合作契機(jī)。統(tǒng)計(jì)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中有著舉足輕重的作用，幾乎每年都會(huì)有與數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)檢驗(yàn)和分析等相關(guān)的題目。可以把歷年來(lái)有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的題目在學(xué)生中進(jìn)行推廣，也能提高學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)實(shí)際應(yīng)用能力。
五、結(jié)束語(yǔ)
通過(guò)本文第四部分可以看出，很多概率統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題如果借助數(shù)學(xué)軟件來(lái)解決可以省去很多煩瑣的計(jì)算過(guò)程，有利于解決更加復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。如果能夠在平時(shí)教學(xué)中加入適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，學(xué)習(xí)相關(guān)軟件的使用，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣而且還可以一舉解決傳統(tǒng)教學(xué)中的諸多問(wèn)題。
參考文獻(xiàn)：
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一 引言
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是定量研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已廣泛引用于農(nóng)業(yè)院校各專(zhuān)業(yè)的科學(xué)研究中。目前中國(guó)的農(nóng)業(yè)院校都開(kāi)設(shè)了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，雖然課程概念比較抽象，計(jì)算繁雜，學(xué)起來(lái)較困難，但這是應(yīng)用性最強(qiáng)的大學(xué)數(shù)學(xué)課程之一。不過(guò)近年來(lái)，伴隨著高校課程改革，高等農(nóng)林院校本科生教學(xué)計(jì)劃中概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)學(xué)時(shí)不斷減少，所以必須對(duì)此課程的教學(xué)方式和方法進(jìn)行改革。
全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模本文由收集整理競(jìng)賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，目前已成為全國(guó)高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競(jìng)賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。隨著競(jìng)賽的推廣，數(shù)學(xué)建模被越來(lái)越多的教師與學(xué)生所熟悉。所謂數(shù)學(xué)模型，是指現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，即建立數(shù)學(xué)模型，然后求解，以此解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用過(guò)程。將數(shù)學(xué)建模運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的洞察能力、聯(lián)想能力、數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯能力、綜合應(yīng)用分析能力和創(chuàng)新能力，此教學(xué)模式的運(yùn)用切合新時(shí)代培養(yǎng)通專(zhuān)并用，全面發(fā)展的高素質(zhì)人才的需要。筆者認(rèn)為，在當(dāng)前的概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中可適當(dāng)增加數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這也是本論文的切入點(diǎn)。
二 農(nóng)業(yè)院校概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中存在的問(wèn)題
1.中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的脫節(jié)
中學(xué)課改后的畢業(yè)生開(kāi)始進(jìn)入大學(xué)，課程改革中對(duì)數(shù)學(xué)課程的知識(shí)范圍和要求改動(dòng)了很多，學(xué)生們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)部分概率論的知識(shí)，但中學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)概率的思維方式與大學(xué)數(shù)學(xué)不同，很多學(xué)生依舊用中學(xué)的學(xué)習(xí)方式學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，造成了他們學(xué)習(xí)上產(chǎn)生挫敗感。
2.教師的教育觀念缺乏與時(shí)俱進(jìn)
大部分大學(xué)數(shù)學(xué)教師并沒(méi)有意識(shí)到中學(xué)課程改革對(duì)這門(mén)課程和學(xué)生們的影響，依舊按照傳統(tǒng)教學(xué)方式講授，注重定理、推論、證明、計(jì)算，而新一代的大學(xué)生很難快速適應(yīng)新的學(xué)習(xí)方式，所以增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。
3.教學(xué)內(nèi)容缺乏應(yīng)用性
概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過(guò)于強(qiáng)調(diào)基本理論，缺乏對(duì)農(nóng)業(yè)科學(xué)的交叉性應(yīng)用研究。農(nóng)科專(zhuān)業(yè)的學(xué)生普遍感覺(jué)學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)將來(lái)的生活工作沒(méi)有用處，所以導(dǎo)致學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)的動(dòng)力和興趣，只是為了通過(guò)考試而學(xué)習(xí)。
4.考核方式過(guò)于死板
多年來(lái)，概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的考核方式始終一成不變，偏重于期末的閉卷考試，試卷主要考查計(jì)算和一些固定模式的應(yīng)用題型，導(dǎo)致學(xué)生死記硬背、應(yīng)付考試，不利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新興趣。
三 建模思想在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程上的應(yīng)用
針對(duì)以上問(wèn)題，建議改革教學(xué)方式，通過(guò)引入數(shù)學(xué)建模思想激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。
1.改變教學(xué)內(nèi)容，增加應(yīng)用型教學(xué)的引入
首先，提倡教師了解中學(xué)課改中影響概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，充分利用學(xué)生已學(xué)過(guò)的概率論知識(shí)，避免重復(fù)教學(xué)，但要強(qiáng)調(diào)中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)不同的思考方式。在教學(xué)內(nèi)容中吸收和融入與實(shí)際農(nóng)業(yè)科學(xué)研究問(wèn)題有關(guān)的應(yīng)用性題目。歷年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目中不乏農(nóng)科專(zhuān)業(yè)相關(guān)的題目，如“作物生長(zhǎng)的施肥效果問(wèn)題”（1992年a題）、“dna序列的分類(lèi)問(wèn)題”（2000年a題）、“葡萄酒的評(píng)價(jià)”（2012年a題）等。這些題目都與現(xiàn)實(shí)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)生活密切相關(guān)，在解決這些問(wèn)題過(guò)程中能很好地鍛煉學(xué)生自主地、能動(dòng)地認(rèn)識(shí)、理解問(wèn)題的能力。
但是，如果直接把數(shù)學(xué)建模的題引入日常教學(xué)中，將面臨下列問(wèn)題：（1）數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的題目一般是涉及面很廣，需要很多專(zhuān)業(yè)知識(shí)和良好的數(shù)學(xué)功底，而農(nóng)科院校的學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，在沒(méi)經(jīng)過(guò)培訓(xùn)的情況下解決競(jìng)賽題目困難較大；（2）要較好地解決建模題目需要大量的時(shí)間，這在課時(shí)有限的概率論與統(tǒng)計(jì)課程中不可能實(shí)現(xiàn)。
上述兩個(gè)問(wèn)題的解決思路：（1）如果直接運(yùn)用競(jìng)賽原題，可以把重點(diǎn)放在（1）（2）兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題上，刪除題目中與這兩個(gè)問(wèn)題沒(méi)有關(guān)系的條件，或簡(jiǎn)化題目背景以適應(yīng)課堂教學(xué)；（2）引入一些數(shù)學(xué)建模集訓(xùn)小題目，這些題目類(lèi)似于課后習(xí)題，但實(shí)用性更強(qiáng)，甚至可以留作課后作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生分組討論，學(xué)生共同完成。
2.改變教學(xué)方法，引入相關(guān)教學(xué)統(tǒng)計(jì)軟件
教學(xué)方法方面，重心不能一味地放在定理、證明、計(jì)算上，應(yīng)拋棄“滿堂灌”的教學(xué)方法，采用啟發(fā)、歸納的教學(xué)模式，通過(guò)建模思想的引入，使學(xué)生由淺入深、由直觀到抽象地認(rèn)識(shí)概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)在實(shí)踐中的應(yīng)用，真正掌握數(shù)學(xué)概念和方法，并從中獲得學(xué)習(xí)上的樂(lè)趣。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課在農(nóng)業(yè)院校中開(kāi)展的相對(duì)較少，大多以選修課的形式出現(xiàn)，筆者建議在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中安排1～2次實(shí)驗(yàn)課，講授統(tǒng)計(jì)軟件的應(yīng)用。隨著近代計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，軟件技術(shù)日益成熟，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中很多計(jì)算問(wèn)題都可以借助于軟件操作。農(nóng)科高校的學(xué)生普遍計(jì)算能力不強(qiáng)，尤其是建模例子中的數(shù)據(jù)樣本量比較大，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，學(xué)生手算起來(lái)比較困難?，F(xiàn)有的統(tǒng)計(jì)軟件，如sas、spss等世界通用的軟件，可以解決較大數(shù)據(jù)量的概率與統(tǒng)計(jì)方面的題目，如數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、回歸分析等問(wèn)題，而且一般的菜單操作就可以解決這類(lèi)問(wèn)題。學(xué)生學(xué)習(xí)一些簡(jiǎn)單的軟件應(yīng)用，可以增強(qiáng)他們的應(yīng)用意識(shí)和動(dòng)手解決實(shí)際問(wèn)題的能力，反過(guò)來(lái)促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論知識(shí)。
3.改變學(xué)習(xí)觀念，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
建模思路的引入，能有效改變大學(xué)生的“數(shù)學(xué)無(wú)用論”。作為教師，我們應(yīng)根據(jù)課程的主要知識(shí)點(diǎn)，與相關(guān)專(zhuān)業(yè)教師加強(qiáng)交流合作，搜集整理大量的農(nóng)科專(zhuān)業(yè)問(wèn)題，并用建模的方法進(jìn)行解決。當(dāng)然，課程的教學(xué)不一定都需要完整地解決一類(lèi)問(wèn)題，只要題目背景來(lái)自農(nóng)科專(zhuān)業(yè)或采用農(nóng)科數(shù)據(jù)，就能在很大程度上調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓他們知道將來(lái)的學(xué)習(xí)和生活中確實(shí)能用到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)。
4.改變考核方式和方法
概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)實(shí)用性較強(qiáng)的學(xué)科，特別是數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的題目，若采用傳統(tǒng)的閱卷考核方式考查，只會(huì)導(dǎo)致學(xué)生用死記硬背、題海戰(zhàn)術(shù)等方法應(yīng)付考試，導(dǎo)致學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)，缺乏學(xué)習(xí)的興趣。
針對(duì)這種現(xiàn)象，筆者認(rèn)為應(yīng)讓學(xué)生在實(shí)際中學(xué)習(xí)，并將所學(xué)歸還于實(shí)際。因此老師平時(shí)布置作業(yè)時(shí)應(yīng)布置一些實(shí)踐題型，讓學(xué)生自己學(xué)會(huì)去思考。關(guān)于考核形式的改革，為了達(dá)到“以教為導(dǎo)，以學(xué)為主，自主解決”的教學(xué)目的，在期末檢測(cè)時(shí)，應(yīng)采用期末考試（50分）+論文（30分）+平時(shí)成績(jī)（20分）的考核方法，其中課程論文要求學(xué)生自己找問(wèn)題，建立模型，利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決問(wèn)題。這樣既考查了學(xué)生對(duì)理論的掌握程度，又能將理論應(yīng)用于實(shí)際中，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中更加重視知識(shí)的綜合運(yùn)用和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。筆者曾在教學(xué)班級(jí)中做過(guò)類(lèi)似的嘗試，即鼓勵(lì)學(xué)生將建模的思想用到課程學(xué)習(xí)中，獲得了明顯的效果。
論文摘要: 測(cè)度論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，在概率統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過(guò)程、微分方程、微分幾何中有廣泛應(yīng)用。測(cè)度理論是實(shí)變函數(shù)論的基礎(chǔ)。集類(lèi)知識(shí)與單調(diào)類(lèi)定理是測(cè)度論中的基礎(chǔ)，特別是單調(diào)類(lèi)定理.這個(gè)定理是一個(gè)很要緊的定理.在后面證明測(cè)度唯一性定理，乘積測(cè)度存在定理等重要的定理中有涉及。在嚴(yán)加安老師的《測(cè)度論講義》上這個(gè)定理有兩個(gè)版本，目前該書(shū)是對(duì)單調(diào)類(lèi)方法應(yīng)用的最多的。有一些看起來(lái)很難的問(wèn)題，也許用這個(gè)定理會(huì)相當(dāng)簡(jiǎn)單.將定義在一個(gè)λ族上的概率測(cè)度延拓為包含該λ族的一個(gè)σ上的概率測(cè)度，在許多重要場(chǎng)合，特別是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著十分重要的意義.關(guān)于這種延拓的存在性、唯一性等，給測(cè)度論提出了一系列新的理論課題，本文試圖對(duì)λ族上概率測(cè)度的延拓問(wèn)題作一些初步探討.
族性質(zhì)的引申：設(shè)為上的一族非負(fù)有界函數(shù)，我們用表示非負(fù)有界 可測(cè)函數(shù)全體，則下列二斷言等價(jià)：
第二步：令 2=
2
（*）
則（a） 2
（b） 2是 族 （證法與上面（a）（b）類(lèi)似略）
從而 2且 2 2
則
F是 類(lèi)從而F使 代數(shù)
第四步：對(duì)有限個(gè)的下端運(yùn)算封閉：
Proof：不妨設(shè) （ 中元素均非負(fù)有界）
故
往證：（a） （b）
Proof：（a）依第二步，
第五步：要證從而
由
為可測(cè)，對(duì)
第六步：往證
【論文摘要】“統(tǒng)計(jì)與概率”出現(xiàn)在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中屬于首次。對(duì)如何培養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)能力，本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，提出四方面探索，即：引入數(shù)學(xué)史，激發(fā)興趣；注重隨機(jī)觀念的培養(yǎng)；淡化計(jì)算，強(qiáng)化概型理解；聯(lián)系日常生活應(yīng)用。
“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的學(xué)科，它的理論與方法在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)、軍事和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。在新一輪基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)課程改革中概率統(tǒng)計(jì)又受到特別重視，并在新課標(biāo)中占據(jù)重要位置，在課程內(nèi)容設(shè)計(jì)上，將概率與統(tǒng)計(jì)作為四個(gè)模塊之一。作為小學(xué)師資的培養(yǎng)基地，為小學(xué)教育本科生開(kāi)設(shè)概率統(tǒng)計(jì)課程就顯得尤為重要。結(jié)合小學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容要求，我們對(duì)該課程的教學(xué)進(jìn)行了以下幾方面的改革與探索。
一、 引入概率史料，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣
同其它學(xué)科的發(fā)展一樣，概率論的發(fā)展有其自身不斷發(fā)展和完善的歷史，以及為此做出巨大貢獻(xiàn)的眾多數(shù)學(xué)家的趣聞、軼事和智慧的思想，這些歷史不僅反映了概率論的主要內(nèi)容，也介紹了概率的一般規(guī)律和思想方法。
例如，帕斯卡和費(fèi)馬對(duì)梅雷提出的擲骰子及賭資分配問(wèn)題的研究史實(shí)，就引起學(xué)生對(duì)概率問(wèn)題的極大興趣。而將諸多數(shù)學(xué)家所做的拋硬幣試驗(yàn)的歷史引入課堂，有助于學(xué)生了解統(tǒng)計(jì)定義產(chǎn)生的過(guò)程、條件，加深對(duì)統(tǒng)計(jì)定義的理解。
二、 注重隨機(jī)觀念的培養(yǎng)，真正把握概率的思想實(shí)質(zhì)
概率研究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，它是偶然的，但又有一定的規(guī)律，偶然中蘊(yùn)含著必然；它總是通過(guò)對(duì)事件外顯的數(shù)據(jù)研究，達(dá)到對(duì)事件本質(zhì)的把握。概率并不提供確定無(wú)誤的結(jié)論，這是由隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)所造成的。
例如，天氣預(yù)報(bào)明天下雨的概率是10%，后天下雨的概率為90%，但實(shí)際上卻有可能明天下雨而后天沒(méi)有下雨。這并不是預(yù)報(bào)不準(zhǔn)，而是我們對(duì)概率的理解有問(wèn)題，我們不能在試驗(yàn)之前預(yù)知試驗(yàn)的確切結(jié)果，只能知道每個(gè)結(jié)果的概率，這有什么意義呢?事實(shí)上，如果天氣預(yù)報(bào)“明天下雨的概率是90%”，那么明天你“帶雨具出門(mén)”與“不帶雨具出門(mén)”相比，“帶雨具出門(mén)”是更明智的選擇，盡管明天根本沒(méi)有下雨。
隨機(jī)性和確定性一樣，也是一種科學(xué)方法。許多現(xiàn)象，都要從隨機(jī)的角度探索。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維方式，幫助學(xué)生應(yīng)該建立隨機(jī)觀念。
三、強(qiáng)化基本概型的理解，提高學(xué)習(xí)效率
教學(xué)中最為關(guān)鍵的是講清模型，淡化復(fù)雜計(jì)算，讓學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)，知道該如何選擇模型，然后運(yùn)算求解。在古典概型中，很多問(wèn)題所涉及的模型在本質(zhì)上是一樣的，比如抽簽、抽獎(jiǎng)及抓鬮等問(wèn)題都是同一個(gè)概率模型。我們可以講清楚一個(gè)模型，再給出一些相關(guān)的題目，讓學(xué)生通過(guò)思索自己去發(fā)現(xiàn)這些題目在本質(zhì)上是一樣的，從而從本質(zhì)上理解這一模型。
例如隨機(jī)投球模型，假設(shè)把n個(gè)球隨機(jī)投入到m只盒子中，如果盒子可放球數(shù)不限，顯然有mn種等可能結(jié)果，如果每只盒子只能放一球，顯然有個(gè)結(jié)果（m≥n）。很多問(wèn)題都屬于這一模型，如r個(gè)人從29層高樓的電梯中走出的所有可能結(jié)果，相當(dāng)于把r個(gè)球投入29只盒子，共有29r個(gè)可能結(jié)果。又例如求50個(gè)人生日都不相同的概率，仔細(xì)分析50個(gè)人的生日所有可能的分布情況，相當(dāng)于把50個(gè)球投入365(閏年為366)只盒子，每只盒子投球數(shù)不限，即有36550種投法。由此得到50個(gè)人的生日都不同的概率為≈0.03。當(dāng)然，這一實(shí)例貼近生活，能激發(fā)學(xué)生應(yīng)用概率的興趣，也鞏固了隨機(jī)投球模型的理解。
四、聯(lián)系日常生活、其它學(xué)科間的聯(lián)系，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是建立在現(xiàn)實(shí)生活的基礎(chǔ)上的一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科。布置一些靈活的緊密聯(lián)系實(shí)際的題目，讓學(xué)生利用概率統(tǒng)計(jì)方法解決相應(yīng)的問(wèn)題，體味生活中的數(shù)學(xué)，這可以使學(xué)生得以深刻理解隨機(jī)性、統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)和原貌。
例如關(guān)于抓鬮公平性問(wèn)題，有5個(gè)人抓鬮，僅有一個(gè)有物的鬮，問(wèn)先抓后抓是否一樣公平，我們就可以利用概率的乘法公式，分別計(jì)算每一個(gè)人抓到有物鬮的概率，發(fā)現(xiàn)都是，由此知道先抓后抓一樣公平。
又如，利用學(xué)生都有在計(jì)算機(jī)房上網(wǎng)的經(jīng)歷，會(huì)碰到網(wǎng)速非常慢的情況，是為什么呢？而局域網(wǎng)絡(luò)的最大吞吐量問(wèn)題，就是運(yùn)用概率的思想和方法分析解決。引入這樣一些實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生自己分析解決問(wèn)題，比較鍛煉學(xué)生的能力。
在為小學(xué)教育本科生開(kāi)設(shè)概率統(tǒng)計(jì)課程中，筆者在教學(xué)中進(jìn)行了這四個(gè)方面的探索，經(jīng)過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生隨機(jī)思維，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)方法提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力都有明顯提高，為其今后的教學(xué)工作做了有益的準(zhǔn)備。
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