發(fā)布時(shí)間：2022-04-25 05:18:59
序言：寫(xiě)作是分享個(gè)人見(jiàn)解和探索未知領(lǐng)域的橋梁，我們?yōu)槟x了1篇的數(shù)學(xué)勾股定理論文樣本，期待這些樣本能夠?yàn)槟峁┴S富的參考和啟發(fā)，請(qǐng)盡情閱讀。
數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的教育。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，數(shù)學(xué)史教育則是數(shù)學(xué)教育的一個(gè)部分；而數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的一種載體，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)文化。
在我國(guó)所頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，無(wú)論是義務(wù)教育階段還是普通高中階段，都有與數(shù)學(xué)史相關(guān)的要求?！度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》第四部分“課程實(shí)施建議”，每一個(gè)學(xué)段的“教材編寫(xiě)建議”都有“介紹有關(guān)的數(shù)學(xué)背景知識(shí)”這一條目。而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》認(rèn)為“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史、應(yīng)用和趨勢(shì)”“應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀?！蓖瑫r(shí)在選修課程中開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)史選講”，并提供了若干可供選擇的專(zhuān)題。
勾股定理是平面幾何中具有奠基性地位的定理，是解三角形的重要基礎(chǔ)，也是整個(gè)平面幾何的重要基礎(chǔ)，其在現(xiàn)實(shí)生活中具有普遍的應(yīng)用性。因此勾股定理幾乎是全世界中學(xué)數(shù)學(xué)課程中都介紹的內(nèi)容。這是因?yàn)楣垂啥ɡ聿粌H對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展影響巨大，而且在人類(lèi)科學(xué)發(fā)展史上意義非凡。從某種意義上說(shuō)，勾股定理的教學(xué)是數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革的晴雨表。20世紀(jì)五六十年代數(shù)學(xué)課程的嚴(yán)格論證，后來(lái)提倡的“量一量、算一算”“告訴結(jié)論”“做中學(xué)”，直到現(xiàn)在的探究式等，在勾股定理的教學(xué)中都有各自的追求。數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)論證乃至數(shù)學(xué)推斷等能力，勾股定理的教學(xué)正是一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦印?
“勾股定理”是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，具有悠久的歷史和豐富的文化內(nèi)涵，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》中指出勾股定理的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程，會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。勾股定理的內(nèi)容出現(xiàn)在八年級(jí)，而八年級(jí)又是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要發(fā)展階段，由具體思維向形式化思維轉(zhuǎn)變的重要時(shí)期，但勾股定理的教學(xué)卻始終是一個(gè)難點(diǎn)，雖然勾股定理的證明方法據(jù)說(shuō)超過(guò)400種，但是真正能夠讓學(xué)生在思路上比較“自然地”想到的證明方法是困難的，而從讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程的角度來(lái)講，要讓學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”勾股定理更是難上加難。
那么，教師如何教學(xué)才能使學(xué)生體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程呢?筆者認(rèn)為教師應(yīng)該以勾股定理的歷史文化發(fā)展為線索來(lái)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)更為合適。
1. 教學(xué)目標(biāo)
（1）使學(xué)生在探索中“發(fā)現(xiàn)”勾股定理；
（2）使學(xué)生從勾股定理的歷史背景中體驗(yàn)勾股定理；
（3）使學(xué)生從不同文化對(duì)勾股定理不同的證明方法中感受數(shù)學(xué)證明的靈活和數(shù)學(xué)美，感受勾股定理的豐富文化內(nèi)涵；
（4）使學(xué)生運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題；
2. 課時(shí)安排 本節(jié)安排三課時(shí)，第一課時(shí)講到勾股定理的證明，第二課時(shí)講授證明方法，第三課時(shí)講授勾股定理的應(yīng)用。
3. 教學(xué)過(guò)程
3.1 從文化傳統(tǒng)入手使學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”勾股定理：
教師在課前需要做好形式多樣的三角形的模型，既有直角三角形又有非直角三角形（為方便起見(jiàn)，使得每一個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度均為整數(shù)）。將全班學(xué)生分若干個(gè)小組，發(fā)給每個(gè)小組兩個(gè)直角三角形和一個(gè)非直角三角形，讓每個(gè)小組同學(xué)利用直尺測(cè)量三角形的三邊長(zhǎng)，并記錄數(shù)據(jù)（教師可利用幾何畫(huà)板進(jìn)行集體演示）。然后，教師提出問(wèn)題：
(1) 你手中的直角三角形的三邊的平方之間有什么關(guān)系？
(2) 這種關(guān)系對(duì)于非直角三角形是否任然成立？
通過(guò)計(jì)算，和小組內(nèi)討論，每個(gè)小組選出一位“發(fā)言人”代表本小組陳述本組的結(jié)果。教師在一旁進(jìn)行指導(dǎo)，并根據(jù)學(xué)生的回答，給出正確的結(jié)論：
問(wèn)題(1)：任意直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是我們要學(xué)習(xí)的勾股定理的內(nèi)容。這里的“勾、股”指的是直角三角形的兩個(gè)直角邊，斜邊叫做“弦”。
問(wèn)題(2)：任意非直角三角形都不存在這種關(guān)系。
中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)非常重視測(cè)量與計(jì)算，這是古人發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的主要方法之一，同時(shí)也是學(xué)生很熟悉的學(xué)習(xí)方法。這樣引入課題符合從特殊到一般的思維規(guī)律，能夠帶動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。
3.2 向?qū)W生介紹勾股定理的歷史背景：
據(jù)史書(shū)記載，大禹治水與勾股定理有關(guān)。
大禹在治水的實(shí)踐中總結(jié)出了運(yùn)用勾股術(shù)(也就是勾股的計(jì)算方法)來(lái)確定兩處水位的高低差?？梢哉f(shuō)，大禹是世界上有確切文字記載的第一位與勾股定理有關(guān)的人了。
《周髀算經(jīng)》是中國(guó)歷史上最早的一本算術(shù)類(lèi)經(jīng)書(shū)。周就是圓，髀就是股。上面記載周公與商高的談話，其中就有勾股定理的文字記錄，即＂勾三股四弦五＂，亦被稱(chēng)作商高定理。卷上另外一處記述了周公后人榮方與陳子(約公元前6、7世紀(jì))的對(duì)話中，則包含了勾股定理的一般形式：
“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并幾開(kāi)方除之，得邪至日?！?
可見(jiàn)，在我國(guó)西周時(shí)期已經(jīng)開(kāi)始利用勾股定理來(lái)測(cè)天量地，于是勾股定理又叫“商高定理”。
而在西方，人們認(rèn)為勾股定理的第一個(gè)證明是畢得格拉斯給出的，因此將勾股定理又叫做“畢得格拉斯”定理。相傳畢得格拉斯學(xué)派為了慶祝這條定理的發(fā)現(xiàn)，一次就宰殺了一百頭牛祭神慶賀，于是也把“畢得格拉斯”定理稱(chēng)為“百牛定理”，不過(guò)迄今為止還沒(méi)有畢得格拉斯發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的直接證據(jù)，而且宰牛慶賀一說(shuō)也與畢得格拉斯學(xué)派的素食主義相違背。不過(guò)盡管如此，人們?nèi)稳粚?duì)畢得格拉斯證明勾股定理的方法給予了種種的猜測(cè)，其中最著名的是普魯塔克(Plutarch,約46-120)所給出的面積分割法。從畢得格拉斯時(shí)代到現(xiàn)在，人們對(duì)勾股定理給出了各式各樣不同的證明方法。在盧米斯(E·S·Loomis)的《畢氏命題》一書(shū)第二版中，作者收集了勾股定理的約370種不同的證明方法，并對(duì)它們進(jìn)行了分類(lèi)。
3.3 向?qū)W生展示歷史上勾股定理的不同的證明方法：
(1)趙爽(公元3世紀(jì)前期)的證明：
在我國(guó)第一個(gè)給出勾股定理證明的是趙爽，他在深入研究了《周髀算經(jīng)》后，為該書(shū)些了序言，并做了詳細(xì)注釋?zhuān)渲杏幸欢渭s530余字的“勾股圓方圖”注文，在數(shù)學(xué)史上極有極高的價(jià)值，并繪有勾股圖，證明了勾股定理，并用朱黃兩色涂于圖上。
摘要：數(shù)學(xué)是一種邏輯性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)的學(xué)科，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題使用常規(guī)的解題方法往往過(guò)于繁瑣，而利用一些定理進(jìn)行求解往往能夠達(dá)到事半功倍的效果。在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，勾股定理便是一個(gè)非常重要的定理，將其充分利用能夠使諸多數(shù)學(xué)問(wèn)題迎刃而解。本課題筆者結(jié)合實(shí)際教學(xué)案例從多方面對(duì)勾股定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了探究，希望以此為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的完善提供一些具有價(jià)值性的參考依據(jù)。
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 勾股定理 應(yīng)用
1 引言
勾股定理是初中數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)定理[1]。它很好地解釋了直角三角形中三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，對(duì)于幾何學(xué)當(dāng)中有關(guān)直角三角形的計(jì)算機(jī)證明問(wèn)題，利用勾股定理往往能夠迎刃而解，使學(xué)生快速掌握解決方法。同時(shí)，在日常生活及工作當(dāng)中，勾股定理的應(yīng)用也非常廣泛。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，充分利用好勾股定理這一有效手段進(jìn)行解題顯得尤為重要。筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，利用勾股定理，對(duì)初中數(shù)學(xué)當(dāng)中的“線段求長(zhǎng)問(wèn)題”、“求角問(wèn)題”、“證明垂直問(wèn)題”及“實(shí)際問(wèn)題”進(jìn)行了分析與探究，希望以此能夠?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教學(xué)提供有效依據(jù)。
2 勾股定理在線段問(wèn)題中的應(yīng)用
在初中數(shù)學(xué)中，一些“線段求長(zhǎng)”問(wèn)題使用常規(guī)方面解決常表現(xiàn)的較為棘手，而使用勾股定理往往能夠得以有效解決。
例題1：如圖1，在三角形ABC中，已知：∠ABC=90°，AB=BC，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別位于相互平行的三條直接l1、l2、l3上，并且l1與l2之間的距離為2，l2，與l3之間的距離為3，求AC的長(zhǎng)度。
解：過(guò)A作l3的垂線交l3于D，過(guò)C作l3的垂線交l3于E，由已知條件：∠ABC=90°，AB=BC，得：RtABD與RtBEC全等；
所以，AD=BE=3，DB=CE=5；
進(jìn)而得：AB2=BC2=32+52=9+25=34；
在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2=68，
所以：AC=2■
3 勾股定理在求角問(wèn)題中的應(yīng)用
在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，有些求角問(wèn)題使用常規(guī)方法難以解決，而使用勾股定理則能夠很快地解決。因此，將在求角問(wèn)題中充分應(yīng)用勾股定理便有著實(shí)質(zhì)性的作用[2]。
例題2：如圖2，在等邊ABC中，有一點(diǎn)P，已知PA、PB、PC分別等于3、4、5，試問(wèn)∠APB等于多少度？
解：把APC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至ABQ，讓AB和AC能夠重合；此時(shí)，AP=AQ=3，BQ=PC=5，，∠PAQ=∠BAC=60°；
所以，PAQ是等邊三角形；
所以，PQ=3；
在三角形PBQ當(dāng)中，PB、BQ分別等于4、5，
所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ=90°；
所以，∠APB=∠BPQ +∠APQ=90°+60°=150°。
4 勾股定理在證明垂直問(wèn)題中的應(yīng)用
在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，一些證明垂直的問(wèn)題如果利用勾股定理進(jìn)行求解，那么將能夠達(dá)到事半功倍的效果。下面筆者結(jié)合有關(guān)證明垂直問(wèn)題的題型展開(kāi)討論。
例題3：如圖3所示，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，ABAD，證明：BCBD[3]。
證明：由已知條件ABAD可知，在三角形ABD中，∠BAD=90°；
因?yàn)锳D、AB分別為3、4，由勾股定理可知：BD2=AB2+AD2=32+42，求得：BD=5，
又因?yàn)锽D2+BC2=52+122=132=CD2；
因此，三角形DBC為直角三角形，其中∠CBD=90°；
所以，BCBD。
5 勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
對(duì)于勾股定理，還能夠解決實(shí)際問(wèn)題，并且這些實(shí)際問(wèn)題都是在日常生活中可以看到的。
例題4：一棵小樹(shù)高為4米，現(xiàn)有小鳥(niǎo)A停留在樹(shù)梢上，此時(shí)小鳥(niǎo)B停留在高20米的一棵大樹(shù)樹(shù)梢上發(fā)出友好的叫聲，已知大樹(shù)與小樹(shù)的距離為12米，如果小鳥(niǎo)A以4m/s的速度飛往大樹(shù)樹(shù)梢，試問(wèn)：小鳥(niǎo)A至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能夠與小鳥(niǎo)B在一起？
解：如圖4，根據(jù)題干的已知條件可知，AC=16m，BC=12m，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=162+122，求得AB=20m；
所以，小鳥(niǎo)A所需時(shí)間為20/4=5秒。
筆者認(rèn)為，利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，需要弄清題意，進(jìn)而對(duì)題目中所涉及的直角三角形找出來(lái)，然后結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解[4]。在例題4中，最主要的步驟便是依照題意，結(jié)合勾股定理，然后畫(huà)出大樹(shù)與小樹(shù)之間的直角三角形，在充分利用已知條件的基礎(chǔ)上，便能夠使問(wèn)題有效解決。
6 結(jié)語(yǔ)
通過(guò)本課題的探究，認(rèn)識(shí)到在初中數(shù)學(xué)中，對(duì)于許多問(wèn)題可以利用勾股定理進(jìn)行求解。包括“線段求長(zhǎng)問(wèn)題”、“求角問(wèn)題”、“證明垂直問(wèn)題”及“實(shí)際問(wèn)題”等。筆者認(rèn)為，勾股定理在幾何學(xué)當(dāng)中占有非常重要的地位，它不僅僅只是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的定理那么簡(jiǎn)單，它還與我們的日常生活息息相關(guān)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)習(xí)勾股定理進(jìn)行解題，不但能夠提高學(xué)生解題的效率，而且還能夠讓學(xué)生對(duì)生活引發(fā)思考，從而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，體會(huì)到生活與數(shù)學(xué)學(xué)科的密切聯(lián)系，進(jìn)一步為數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用奠定良機(jī)。
[摘 要] 數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的意義不言而喻，它對(duì)于踐行新課改的知識(shí)與技能、過(guò)程與方法以及情感態(tài)度價(jià)值觀的三維目標(biāo)，倡導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的教學(xué)模式等方面具有重要作用. 本文以勾股定理教學(xué)為例，探討了上述問(wèn)題.
[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史；勾股定理；教育價(jià)值
數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的價(jià)值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數(shù)學(xué)教育類(lèi)雜志可以發(fā)現(xiàn)，越來(lái)越多的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師也在撰文闡述自己在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史的一些體會(huì)和教學(xué)案例. 在課程改革不斷深入的當(dāng)下，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于踐行課改的理念，培養(yǎng)全面發(fā)展有理想、有道德的高素質(zhì)數(shù)學(xué)人才等方面確實(shí)有著積極的推進(jìn)作用. 本文將給出一個(gè)基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強(qiáng)自身數(shù)學(xué)史修養(yǎng)的同時(shí)，開(kāi)發(fā)出更多基于數(shù)學(xué)史的優(yōu)秀教學(xué)案例.
提出問(wèn)題
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其徒眾發(fā)現(xiàn)的，后人更渲染其事，說(shuō)畢達(dá)哥拉斯諸人十分重視這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，特地宰了一百頭牛向天神奉獻(xiàn)答謝，所以中世紀(jì)時(shí)這條定理被稱(chēng)作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱(chēng)特別多，在不同時(shí)代、不同地區(qū)都有不同的名稱(chēng)，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在公元前300年左右編寫(xiě)了著名的經(jīng)典之作《幾何原本》，其中一個(gè)定理就是畢達(dá)哥拉斯定理：
“在直角三角形中，直角所對(duì)的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”
接下來(lái)的這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯定理的逆定理：
“如果在一個(gè)三角形中，一邊上的正方形等于這個(gè)三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”
這兩個(gè)定理合起來(lái)說(shuō)明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關(guān)系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.
我國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國(guó)家，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國(guó)數(shù)學(xué)家早在公元前1120年就對(duì)勾股定理有了明確認(rèn)識(shí). 勾股定理從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，在西方，它被稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理，但它的發(fā)現(xiàn)時(shí)間卻比中國(guó)人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.
定理的證明
在新課程人教版教材（八年級(jí)下冊(cè)）中，先是引用畢達(dá)哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長(zhǎng)的正方形，在“弦圖”內(nèi)作四個(gè)相等的勾股形，各以正方形的邊長(zhǎng)為弦. “弦圖證法”是依據(jù)“出入相補(bǔ)原理”，根據(jù)“以直角三角形斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來(lái)證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，正因如此，這個(gè)圖案被選為2002年北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽.
引導(dǎo)學(xué)生探索其他解法
上述是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來(lái)證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據(jù)面積相等實(shí)現(xiàn)定理的證明. 教師可以提示學(xué)生圍繞這一觀點(diǎn)，探索其他證明方法，學(xué)生提供的證法有可能和歷史上大數(shù)學(xué)家的證法一致.
歷史上的經(jīng)典證明方法展示
發(fā)現(xiàn)勾股定理迄今已有五千年，五千多年來(lái)，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都相繼發(fā)現(xiàn)和研究過(guò)這個(gè)定理，幾千年來(lái)，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數(shù)學(xué)思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統(tǒng)證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達(dá)哥拉斯的證法；（7）旋轉(zhuǎn)證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過(guò)程在本文中省略不寫(xiě).
基于上述分析，不難發(fā)現(xiàn)，歷史上的勾股定理證明方法很多，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有400多種，向?qū)W生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現(xiàn)在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優(yōu)劣，而是為了豐富教與學(xué)的內(nèi)容知識(shí)，這也是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)重要的功能之一. 其次，通過(guò)比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學(xué)生在教與學(xué)上有所比較，以達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短. 通過(guò)分析各種證法之不同，可以發(fā)現(xiàn)他們各自對(duì)于圖形的依賴(lài)程度也不相同. 當(dāng)我們?cè)噲D理解某個(gè)版本的證法時(shí)，就好比與這位數(shù)學(xué)家進(jìn)行對(duì)話，從而產(chǎn)生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認(rèn)識(shí)到該如何呈現(xiàn)定理及其證明，以便可以兼顧到各個(gè)面向. 在教學(xué)中，若以歷史文本為師，適時(shí)引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯(cuò)誤，相信對(duì)于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程能有更貼近的牟合，也能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更全面的觀照. 最后，基于數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的目標(biāo)之一，正是讓學(xué)生在通過(guò)歷史文本解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，因此，數(shù)學(xué)歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸.
歷史上涉及勾股定理應(yīng)用的古算題很多，在學(xué)習(xí)勾股定理的同時(shí)，如果能盡可能多地向?qū)W生呈現(xiàn)這些古算題，會(huì)使我們的教學(xué)起到事半功倍之效. 向?qū)W生呈現(xiàn)古算題原題，學(xué)生首先會(huì)接受很多那個(gè)時(shí)代的社會(huì)、人文信息，包括古算題涉及的真實(shí)情景、古算題的出處、涉及的數(shù)學(xué)家等. 學(xué)生還要將文言文翻譯成現(xiàn)代白話文，然后去理解題意，考慮其解題方法. 接著給學(xué)生呈現(xiàn)古人解決此類(lèi)問(wèn)題的“術(shù)”，又會(huì)使學(xué)生感受到他們的解法與歷史上的解法其實(shí)有異曲同工之妙. 在這個(gè)過(guò)程中，新課程所涉及的“知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀”三維目標(biāo)可以自然地達(dá)成. 誠(chéng)然，教師在這個(gè)過(guò)程中需要適時(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)和點(diǎn)撥，它要求教師具備一定的數(shù)學(xué)史知識(shí)和修養(yǎng).
結(jié)語(yǔ)：數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用不言而喻，亟須一線教師開(kāi)發(fā)出更多的教案和案例. 數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育的重要指導(dǎo)和引領(lǐng)作用，正如我國(guó)老一輩數(shù)學(xué)教育家、珠算算具改革先驅(qū)的余介石先生所說(shuō)：“歷史之于數(shù)學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學(xué)高山仰止之恩，收聞風(fēng)興起之效，更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯順序，如何得以融合調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠(chéng)為教師最宜留意體會(huì)之一事也”.
在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，近階段發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對(duì)勾股定理逆定理掌握不是太透徹.對(duì)于下面的題目不少同學(xué)給出如下錯(cuò)誤的解法.
所以AC=AC.
即ACD為Rt.
如果說(shuō)一兩個(gè)是巧合，可我?guī)У陌嘀胁簧賹W(xué)生是這么解答的，讓我陷入困惑中，通過(guò)幾個(gè)學(xué)生的調(diào)查后，有個(gè)學(xué)生說(shuō)：“在RtΔABC中可以求得AC=5，而ACD中，5、12、13是一組勾股數(shù)，那么ACD是個(gè)直角三角形.”另一個(gè)同學(xué)說(shuō)：“我感覺(jué)ACD是一個(gè)直角三角形，不然面積就不好求了.”還有一同學(xué)說(shuō)：“我記得老師好像也是這么寫(xiě)的吧.”
本來(lái)打算重新講一遍，可想想這樣效果或許不太好，何不將錯(cuò)就錯(cuò)，讓學(xué)生自己去探索求證，我把這樣的解題過(guò)程寫(xiě)在黑板上讓學(xué)生自己來(lái)評(píng)價(jià)是否合理.這時(shí)不少同學(xué)笑了， 其中一中等生說(shuō)：“這過(guò)程不合理，因?yàn)樵贏CD中，如果說(shuō)由勾股定理得的話，前提已經(jīng)是直角三角形了，而題目中有沒(méi)有直接告訴我們，需要我們驗(yàn)證.”
“那我們?cè)撛趺打?yàn)證它是不是一直角三角形呢？”我及時(shí)的問(wèn)，這時(shí)班級(jí)調(diào)子不一致了，有的說(shuō)勾股定理，有的說(shuō)勾股定理逆定理.我又問(wèn)誰(shuí)能告訴我勾股定理和它的逆定理到底有什么不一樣，他們各自目的一樣嗎？這樣又有幾個(gè)同學(xué)作了回答.
我問(wèn)道：“現(xiàn)在我們?cè)谇驛C的長(zhǎng)度時(shí)，用的是勾股定理還是其逆定理？”
學(xué)生一致答道：“勾股定理.”
“而在判斷三角形ACD的形狀時(shí)，是用勾股定理還是其逆定理？”
學(xué)生又一致答道：“逆定理.”
“那我們?cè)趺从霉垂啥ɡ砟娑ɡ砼袛嗳切问欠駷橹苯侨切文?？?
這時(shí)班級(jí)安靜了一小會(huì)，一平常表現(xiàn)活躍的學(xué)生說(shuō)：“看兩邊平方和與第三邊平方是否相等？如果相等就是直角三角形，不相等就不是直角三角形.”
“任意兩邊平方和嗎？”我問(wèn)道
“這個(gè)……，好像不是吧.”
問(wèn)題好像出來(lái)了，我感覺(jué)有點(diǎn)高興.
這時(shí)一較好同學(xué)站起來(lái)說(shuō)：“應(yīng)該是兩個(gè)較小邊的平方和與第三邊平方進(jìn)行比較.”
“為什么是較小兩邊平方和呢？大家討論交流一下.”
那個(gè)表現(xiàn)活躍的學(xué)生又站起來(lái)說(shuō)：“老師我知道，如果不選擇較小兩邊平方和與第三邊平方作比較，那結(jié)果肯定是不相等的.”
“能否舉個(gè)例子？”我問(wèn)道
“例如3、4、5為三角形的三邊，我們知道它肯定一直角三角形，但如果我們不選擇
32+42與52相比較的話，就會(huì)得到不等的結(jié)果.”
“不知道其他同學(xué)有沒(méi)聽(tīng)懂他的意思？”
“懂了！”其他同學(xué)大聲說(shuō)道.
“那現(xiàn)在老師就板書(shū)一下，同學(xué)說(shuō)，老師寫(xiě)”
板書(shū)如下：在RtABC中，由勾股定理得，
勾股定理及逆定理是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要互逆定理，它的應(yīng)用極為廣泛，我們?cè)诮忸}時(shí)若能正確的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，將會(huì)使你的解題思路更為開(kāi)闊。希望同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意領(lǐng)悟和掌握蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想。
1、數(shù)形結(jié)合的思想。
數(shù)形結(jié)合是一支雙刃劍，利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要研究的問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。N M
例1 右圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是
A.13 B.26 C.47 D.94
解析：由勾股定理可知所以故應(yīng)選C.
2、方程思想。
方程是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為方程來(lái)求解，勾股定理的靈活運(yùn)用為用方程解決某些圖形中線段的長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題構(gòu)筑了一個(gè)極好的平臺(tái)。
例2在一棵樹(shù)的10 m高處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20 m的池塘A處，另一只爬到樹(shù)頂后直接躍向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，試問(wèn)這棵樹(shù)有多高？
解析：如圖所示，一只猴子經(jīng)過(guò)的路徑BCA，共走了10+20=30（m），另一只猴子經(jīng)過(guò)的路徑是BDA，也走了30 m，且樹(shù)垂直于地面，于是此問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理解決.
3、轉(zhuǎn)化思想。
轉(zhuǎn)化是求解問(wèn)題的一種辦法，往往會(huì)收到“山叢水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村?！钡男Ч?。
例3有一根13dm長(zhǎng)的木棒，要放在長(zhǎng)、寬、高分別是4dm，3dm，12dm的木箱中，能放進(jìn)去嗎？
解析：木箱即為長(zhǎng)方體，因此若能求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，再與13dm長(zhǎng)的木棒比較即得答案. 由勾股定理，得這個(gè)木箱對(duì)角線長(zhǎng)的平方=32+42+122=169=132，而木棒長(zhǎng)的平方為132，即木箱對(duì)角線長(zhǎng)的平方=木棒長(zhǎng)的平方，所以13dm長(zhǎng)的木棒剛好能放在長(zhǎng)、寬、高分別是4dm，3dm，12dm的木箱中。
說(shuō)明 本題的求解過(guò)程中，利用勾股定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較兩條線段的大小.另外，在運(yùn)用勾股定理求解問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到不是直角三角形，這時(shí)，我們必須通過(guò)作高線的方法，將此轉(zhuǎn)化成直角三角形，這樣就便于解決問(wèn)題.
4、分類(lèi)討論思想。
“分類(lèi)討論”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時(shí)又是一種重要的解題策略，它能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，使所學(xué)知識(shí)條理化。
例4 己知直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為6和8，試求以第三邊的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積.
解析： 由于本題的已知條件中并沒(méi)有明確6和8是否是直角邊，所以不能想當(dāng)然地就斷定6和8是直角邊，而要進(jìn)行分情況討論來(lái)解決問(wèn)題，下面分兩種情況：
（1）當(dāng)6和8都是直角邊時(shí)，那么第三邊的平方為62+82=100，所以以第三邊的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積100.
（2）當(dāng)8是斜邊時(shí)，第三邊的平方為82-62=28，所以以第三邊的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積28.
5、數(shù)學(xué)建模思想。
數(shù)學(xué)建模思想方法不僅是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種經(jīng)典方法，又是處理各種實(shí)際問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法，它滲透到現(xiàn)實(shí)世界的各個(gè)領(lǐng)域，廣泛應(yīng)用于工程施工、投資經(jīng)營(yíng)、航海運(yùn)輸和規(guī)劃設(shè)計(jì)等實(shí)際問(wèn)題的解決。
例5 在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時(shí)8海里速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)15海里速度前進(jìn)，2小時(shí)后甲船到M島，乙船到P島相距34海里，你能知道乙船沿哪個(gè)方向航行嗎？
B北東 MP 60°
解析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，可以看出，由于甲船的航向已知，如果能求出兩漁船的航向所成的夾角，那么就可以知道乙船的航向了.
解：在圖中，BM=8×2=16，BP=15×2=30，MP=34.
因?yàn)?62+302=342，即BM2+BP2=MP2，所以∠MBP=90°.
又由甲船沿北偏東60°方向航行可知，∠PBC=30°，即乙船沿南偏東30°方向航行。
摘 要：勾股定理是中國(guó)幾何的根源。中華數(shù)學(xué)的精髓，諸如開(kāi)方術(shù)、方程術(shù)等技藝的誕生與發(fā)展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關(guān)系。通過(guò)“勾股定理”的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就以及它在生活中的重要運(yùn)用，從而激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。
關(guān)鍵詞： 勾股定理 教學(xué)方法 實(shí)際運(yùn)用
中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作――《周髀算經(jīng)》的第一章，就有這條定理的相關(guān)內(nèi)容：周公問(wèn)：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”商高答：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤(pán)。得成三、四、五，兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也?！本褪钦f(shuō)，矩形以其對(duì)角相折所稱(chēng)的直角三角形，如果勾（短直角邊）為3，股（長(zhǎng)直角邊）為4，那么弦（斜邊）必定是5。從上面所引的這段對(duì)話中，我們可以清楚地看到，我國(guó)古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要的數(shù)學(xué)原理了。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。在教學(xué)中反思如下：
一、通過(guò)教學(xué)“勾股定理”的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣
在教學(xué)中我是這樣引入新課的：教師用多媒體課件演示FLASH小動(dòng)畫(huà)片：“某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來(lái)救火，了解到每層樓高3米，消防隊(duì)員取來(lái)6.5米長(zhǎng)的云梯，如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米，請(qǐng)問(wèn)消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火？”這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì)有了一定的挑戰(zhàn)性，其目的是為了激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是“已知一直角三角形的兩邊，求第三邊？”的問(wèn)題。學(xué)生會(huì)感到一些困難，從而老師指出學(xué)習(xí)了這節(jié)課的內(nèi)容后，同學(xué)們就會(huì)有辦法解決了。這種以實(shí)際問(wèn)題作為切入點(diǎn)導(dǎo)入新課，不僅自然，而且也反映了“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”，把生活與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)緊密結(jié)合起來(lái)，從而提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
新課標(biāo)要求老師一定要改變角色，變主角為配角，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生提出問(wèn)題，動(dòng)手操作，小組討論，合作交流，把學(xué)生想到的，想說(shuō)的想法和認(rèn)識(shí)都讓他們盡情地表達(dá)，然后教師再進(jìn)行點(diǎn)評(píng)與引導(dǎo)，這樣做會(huì)有許多意外的收獲，而且能充分發(fā)揮挖掘每個(gè)學(xué)生的潛能，久而久之，學(xué)生的綜合能力就會(huì)與日劇增。
二、教學(xué)過(guò)程中，轉(zhuǎn)變師生角色，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)
學(xué)生學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)知識(shí)，卻不會(huì)解決與之有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，造成了知識(shí)學(xué)習(xí)和知識(shí)應(yīng)用的脫節(jié)，感受不到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，這是當(dāng)今課堂教學(xué)存在的普遍問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生實(shí)踐能力的培養(yǎng)非常不利的。“教師教，學(xué)生聽(tīng)，教師問(wèn)，學(xué)生答，教室出題，學(xué)生做”的傳統(tǒng)教學(xué)摸模式，已嚴(yán)重阻阻礙了現(xiàn)代教育的發(fā)展。這種教育模式，不但無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，而且會(huì)造成機(jī)械的學(xué)習(xí)知識(shí)，形成懶惰、空洞的學(xué)習(xí)態(tài)度，形成數(shù)學(xué)的呆子，就像有的大學(xué)畢業(yè)生都不知道1平方米到底有多大？因此，新課標(biāo)要求老師一定要改變角色，變主角為配角，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生提出問(wèn)題，動(dòng)手操作，小組討論，合作交流，把學(xué)生想到的，想說(shuō)的想法和認(rèn)識(shí)都讓他們盡情地表達(dá)，然后教師再進(jìn)行點(diǎn)評(píng)與引導(dǎo)，這樣做會(huì)有許多意外的收獲，而且能充分發(fā)揮挖掘每個(gè)學(xué)生的潛能，久而久之，學(xué)生的綜合能力就會(huì)與日劇增。
三、學(xué)習(xí)“勾股定理”，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想
教學(xué)中教師關(guān)注學(xué)生是否積極參加探索勾股定理的活動(dòng)，關(guān)注學(xué)生能否在活動(dòng)中積思考，能夠探索出解決問(wèn)題的方法，能否進(jìn)行積極的聯(lián)想（數(shù)形結(jié)合）以及學(xué)生能否有條理的表達(dá)活動(dòng)過(guò)程和所獲得的結(jié)論等； 同時(shí)關(guān)注學(xué)生的拼圖過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合自己所拼得的正方形驗(yàn)證勾股定理. 注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。勾股定理描述的是直角三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)用勾股定理的前提是這個(gè)三角形必須是直角三角形。應(yīng)強(qiáng)調(diào)通過(guò)圖形找出直角三角形三邊之間的關(guān)系，要從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示。
四、學(xué)與用結(jié)合，體會(huì)到“勾股定理”在生活中的實(shí)際運(yùn)用
作為學(xué)生，除了考試，勾股定理很少用到.，但是工程技術(shù)人員用的比較多，比如修建房屋、修井、造車(chē)等等，就可以用勾股定理來(lái)計(jì)算，設(shè)計(jì)工程圖紙也要用到勾股定理，也經(jīng)常用到“勾股定理”。在教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”，把生活與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)緊密結(jié)合起來(lái)的思想。例如：
總之，勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來(lái)，理論上占有重要的地位它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過(guò)重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價(jià)值。是幾何中重要定理，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。
【摘要】 在數(shù)學(xué)課堂發(fā)現(xiàn)學(xué)生的興趣點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利用多樣的手段去促進(jìn)學(xué)生提高學(xué)習(xí)成績(jī)，是老師的主要任務(wù). 因此，我們必須把握自主、探究、合作的學(xué)習(xí)模式. 本文以三角形勾股定理的證明為例，簡(jiǎn)要地談?wù)剮椭鷮W(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)的幾點(diǎn)看法.
【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；三角形；勾股定理
《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，“在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)必須面向全體學(xué)生，必須注重基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性”.學(xué)生邏輯思維能力和抽象思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，因此調(diào)動(dòng)各方面的課程資源，才能最大限度地發(fā)掘?qū)W生的學(xué)習(xí)能力.
一、歐幾里得的證明方法
如圖1，這是早在兩千多年前的數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中提出的關(guān)于勾股定理的證明，通過(guò)邊長(zhǎng)為a，b，c的三個(gè)正方形搭建一個(gè)直角三角形，并作輔助線CD，CL，F(xiàn)B，其中CL垂直于DE并與AB交于M點(diǎn)，還需要確保HB垂直于FH.
因?yàn)锳F = AC，AB = AD，∠FAB = ∠CAD，所以 FAB ≌ CAD，因?yàn)镕AB的面積等于 a2，CAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，所以 矩形ADLM的面積為a2. 同理可證，矩形MLEB的面積為b2.
因?yàn)檎叫蜛DEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積，所以可以得出結(jié)論：c2 = a2 + b2，即a2 + b2 = c2.
這一證明方法，給學(xué)生提供了通過(guò)圖形的面積去分析邊長(zhǎng)關(guān)系的重要方法. 首先，就是在于∠BCA必須是直角，這樣才能維持點(diǎn)H，B，C在同一條直線上，從而建立一個(gè)直角三角形ABC；其次，必須給學(xué)生指出給交點(diǎn)命名一個(gè)字母符號(hào)，才不會(huì)遺忘一些關(guān)鍵信息；最后，確定直角三角形ABC三邊之間的關(guān)系.
數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅需要圍繞“知識(shí)與能力”展開(kāi)，更重要的是需要讓學(xué)生產(chǎn)生“情感態(tài)度和價(jià)值觀”上的共鳴. 歐幾里得在《幾何原本》中，以這個(gè)定理為中心，開(kāi)啟了自己的數(shù)學(xué)框架體系，也為后人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的提供了寶貴的財(cái)富. 這些情感也需要教師在談及圖形引導(dǎo)時(shí)進(jìn)行潛移默化的教育.
二、美國(guó)總統(tǒng)的證明方法
時(shí)間倒回到1876年，當(dāng)時(shí)正值黃昏，在公園里，有兩個(gè)孩子嘈雜的吵鬧聲驚動(dòng)了周?chē)S多人，其中也包括未來(lái)的美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德. 兩個(gè)孩子正在為直角三角形的邊長(zhǎng)討論著，這激發(fā)了他仔細(xì)研究“勾股定理”的興趣. 不久之后，他公開(kāi)發(fā)表了自己的證明方法. 加菲爾德身為總統(tǒng)卻為孩子的數(shù)學(xué)問(wèn)題苦思冥想，這對(duì)于總是抱怨成績(jī)不好卻不愿意努力學(xué)習(xí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)該說(shuō)是非常好的教育案例.
如圖2，圖形ABCD是一個(gè)直角梯形，以∠DAE為直角的三角形和以∠CBE為直角的三角形是全等三角形，兩個(gè)三角形的三條邊a，b，c完全相等，圖形的基本關(guān)系確定之后，下面便可以開(kāi)始證明.
第一步，尋找等式關(guān)系，根據(jù)已知條件，DAE和CBE是全等三角形，所以它們對(duì)應(yīng)的每一條邊和每一條角都相等，∠AEB為平角180°，加上∠DAE和∠EBC都為直角，證明∠DEC為直角便不是什么難事了. 緊接著依據(jù)邊EC和DE為長(zhǎng)度相等的邊，判定DEC為等腰直角三角形也就順理成章了. 證明如下：因?yàn)镽tEAD ≌ RtCBE， 所以∠ADE = ∠BEC. 同時(shí)∠AED + ∠ADE = 90°，所以 ∠AED + ∠BEC = 90°，還能得出∠DEC = 180° - 90° = 90°，最終可以確定DEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于 c2.
第二步，建立破題的等式關(guān)系，根據(jù)邊長(zhǎng)的關(guān)系算出DEC的面積的根本目的還是在于建立另外一個(gè)等式關(guān)系， 那就是直角梯形ABCD的面積等于三個(gè)直角三角形面積之和，即直角梯形ABCD的面積 = DAE的面積 + EBC的面積 + DEC的面積. 因?yàn)椤螪AE = 90°， ∠EBC = 90°，所以AD∥BC，并可以證明ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于 （a + b）2，即 （a + b）2 = 2 × ab + c2 . 最終可以得出結(jié)論a2 + b2 = c2.
通過(guò)這兩個(gè)等式，我們便很容易地證明出了“勾股定理”，這個(gè)方法十分簡(jiǎn)便地描述出了三角形各個(gè)邊長(zhǎng)的關(guān)系，還確定了各個(gè)面積之間的關(guān)系.
三、課堂通常的證明方法
雖然說(shuō)相對(duì)于歐幾里得在《幾何原本》當(dāng)中記錄的方法，總統(tǒng)證明法已經(jīng)要簡(jiǎn)單許多，但是從初中生的知識(shí)基礎(chǔ)而言，課堂通常使用的方法要更加簡(jiǎn)便易懂. 這是為學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)準(zhǔn)備的，也是為學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的同學(xué)打好基礎(chǔ)的重要手段.
如圖3，將四個(gè)全等三角形進(jìn)行組合，拼湊出一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，這樣便形成了一個(gè)明顯的面積相等的等式，再根據(jù)邊角關(guān)系可以確定中間的圖形為邊長(zhǎng)為c的正方形，則有：
a2 + b2 + 4 × ab = c2 + 4 × ab，
即a2 + b2 = c2.
四、小 結(jié)
初中數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，教師應(yīng)該盡可能多地為學(xué)生提供學(xué)習(xí)資源和平臺(tái). 從“勾股定理”的證明來(lái)看，教師提供多種證明的方法和思路，對(duì)于開(kāi)拓學(xué)生的圖形思維能力有很大的幫助. 結(jié)合知名數(shù)學(xué)人物在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的積極與進(jìn)取的精神進(jìn)行教學(xué)，對(duì)于激勵(lì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)情感態(tài)度的升華有重要作用.
摘要：創(chuàng)造性地使用教材主要表現(xiàn)在對(duì)教材的靈活運(yùn)用和對(duì)課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強(qiáng)的課程意識(shí)，準(zhǔn)確把握教材編寫(xiě)意圖和教學(xué)目的，避免形式化、極端化傾向。在創(chuàng)造性地使用教材的過(guò)程中教師的專(zhuān)業(yè)化水平將得到飛速提高。
關(guān)鍵詞：教師；教材使用；創(chuàng)造性；勾股定理
本次課程改革無(wú)論是在課程設(shè)置上還是在課程內(nèi)容及教材編排方式的更新上都給教師提供了廣闊的創(chuàng)造空間。它帶來(lái)教學(xué)觀念、方式的一大改變，就是要求打破原有的教學(xué)觀、教材觀，創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)教材。這就要求教師在充分了解和把握課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科特點(diǎn)、教學(xué)目標(biāo)、教材編寫(xiě)意圖的基礎(chǔ)上，以教材為載體，靈活有效地組織教學(xué)，拓展課堂教學(xué)空間。創(chuàng)造性地使用教材是教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式綜合優(yōu)化的過(guò)程；是課程標(biāo)準(zhǔn)、教材內(nèi)容與學(xué)生生活實(shí)際相聯(lián)系的結(jié)晶；是教師智慧與學(xué)生創(chuàng)造力的有效融合。
一、創(chuàng)造性的使用教材的內(nèi)涵
創(chuàng)造性地使用教材主要表現(xiàn)在對(duì)教材的靈活運(yùn)用和對(duì)課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強(qiáng)的課程意識(shí)，準(zhǔn)確把握教材編寫(xiě)意圖和教學(xué)目的，避免形式化、極端化傾向。在創(chuàng)造性地使用教材的過(guò)程中教師的專(zhuān)業(yè)化水平將得到飛速提高。
那究竟如何來(lái)創(chuàng)造性地使用教材呢？筆者擬通過(guò)人教版八年級(jí)下冊(cè)《勾股定理》一課來(lái)具體闡述。在人教版的教學(xué)建議中，明確指出：《勾股定理》一課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生了解勾股定理的歷史背景，體會(huì)勾股定理的探索過(guò)程，掌握直角三角形的三邊關(guān)系。為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，不同的教師創(chuàng)設(shè)任務(wù)的方式也有所不同。
二、課堂再現(xiàn)
課例1
1.提出問(wèn)題。T：相傳兩千五百多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情地歡樂(lè)。只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚發(fā)呆，原來(lái)朋友家的地面是用直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪就過(guò)去詢(xún)問(wèn)，誰(shuí)知畢達(dá)哥拉斯突然站起來(lái)，大笑著跑回家了，他發(fā)現(xiàn)了直角三角形的某一些性質(zhì)。同學(xué)們，你知道畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么性質(zhì)？你能發(fā)現(xiàn)什么？S1：我發(fā)現(xiàn)圖中有直角三角形，而且是等腰直角三角形。S2：我發(fā)現(xiàn)以直角邊為邊做出的正方形的兩個(gè)面積之和等于斜邊為邊做出的正方形面積。T：我們發(fā)現(xiàn)A+B=C，由于這個(gè)三角形為特殊的直角等腰三角形。我們?cè)賮?lái)看幾個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形，它們的面積是否依然存在這樣關(guān)系？
2.解決問(wèn)題。T：接下來(lái)我們一起來(lái)做個(gè)實(shí)驗(yàn)，大家看下圖。A、B、C面積之間有什么關(guān)系？邊長(zhǎng)a、b、c之間存在什么樣的關(guān)系？
老師發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)不會(huì)算C的面積，于是請(qǐng)會(huì)算的同學(xué)說(shuō)說(shuō)計(jì)算思路。
S：我用的方法是補(bǔ)的，就是把這樣以c為邊的斜的正方形補(bǔ)成一個(gè)正放的大正方形。
先算出大正方形的面積，減去4塊直角三角形的面積就得出C的面積了。
T：非常好，有沒(méi)有不同的方法？
S：我用的是分割的方法。我把這個(gè)大的正方形割成4個(gè)直角三角形和1個(gè)小的正方形。我們可用三角形的面積加上中間小正方形就是大的正方形的面積。
T：非常好。接下來(lái)，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)想一下，直角三角形三邊可能存在哪些數(shù)量關(guān)系？
S：a2+b2=c2
3.揭示本質(zhì)。T：我們剛才進(jìn)一步驗(yàn)證我們的猜想a2+b2=c2是成立的。那對(duì)于一般的直角三角形，兩直角邊為a、b斜邊為c，是否都有a2+b2=c2？不要忘記，剛才我們?cè)谇蟠笳叫蔚拿娣e是如何求的？它給我們什么啟示？其實(shí)歷史對(duì)證明勾股定理有許多種，而我們中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的證明思想是“以盈補(bǔ)虛，出入相補(bǔ)”。
T：2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)放在北京舉行，大會(huì)的會(huì)徽正是三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽關(guān)于勾股定理證明的草圖。同學(xué)們，請(qǐng)拿出紙筆證明一下。
S：我用大的正方形的面積等于四個(gè)直角三角形加上小正方形的面積。
T：運(yùn)用面積不變，用割補(bǔ)的方法我們可以得到a2+b2=c2。
4.描述定義。T：下面我們給出勾股定理的表述。
命題：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
數(shù)學(xué)語(yǔ)言：ABC為直角三角形，∠C=90°AC2+BC2=AB2
5.教學(xué)總結(jié)。T：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們學(xué)了勾股定理，那你學(xué)到了什么？S：用割補(bǔ)法進(jìn)行勾股定理的證明。T：對(duì)，我們講了中國(guó)古代以盈補(bǔ)虛的數(shù)學(xué)思想，那這種以面積來(lái)證明勾股定理的方法同時(shí)也體現(xiàn)了我們的數(shù)學(xué)上的數(shù)形結(jié)合的思想。這節(jié)課你還學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法？S：從特殊到一般。T：我們從特殊的等腰直角三角形入手再探究有整數(shù)邊的直角三角形，最后到一般直角三角形的證明。
分析：張老師本節(jié)課的重點(diǎn)放在定理的證明上，讓學(xué)生充分體驗(yàn)邏輯推理的魅力。讓學(xué)生自主探索、小組合作交流，直觀理解勾股定理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，重視學(xué)生獨(dú)立思考和探索能力的培養(yǎng)，在與同學(xué)交流學(xué)習(xí)中，通過(guò)取長(zhǎng)補(bǔ)短，吸收同學(xué)意見(jiàn)，修正、完善自己的想法，探討出利用割補(bǔ)法求面積的方法，就本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容而言，掌握方法（割補(bǔ)法）和滲透學(xué)科思想（轉(zhuǎn)化的思想）與知道結(jié)果同樣重要。
課例2
1.引入課題（第一次活動(dòng)）。T：請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳袭?huà)面積最小的格點(diǎn)RtABC，教師用實(shí)物投影展示一位學(xué)生作品即如圖ABC，并隨即提問(wèn)：RtABC中，BC=1，AC=1，你能否用計(jì)算面積法求AB的長(zhǎng)？
S：可以把四個(gè)三角形拼成一個(gè)大正方形，得到正方形的面積為2，那正方形的邊長(zhǎng)也就是AB的長(zhǎng)為。
T：對(duì)于一個(gè)特殊的Rt確實(shí)有a2+b2=c2，但對(duì)于一般直角三角形能成立嗎？
2.深入探究（第二次活動(dòng)）。T：請(qǐng)各組利用手中的四個(gè)全等Rt紙板，拼出一個(gè)邊長(zhǎng)為C的正方形。（設(shè)定兩直角邊、斜邊分別是a，b，c）學(xué)生合作后擺出了如下的兩種圖案：
T：對(duì)于擺法1，大正方形面積可有幾種表示法？S：兩種，一種是c2，另一種為4個(gè)直角三角形和與一個(gè)小正方形的面積。
T：小正方形邊長(zhǎng)為多少？S：b-a，把兩種表示法等同起來(lái)（b-a）2+2ab=c2，化簡(jiǎn)整理得a2+b2=c2。
S：對(duì)于擺法2，也可得出a2+b2=c2。
3.強(qiáng)調(diào)定義。如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
4.總結(jié)拓展。T：關(guān)于勾股定理的證明方法有五百余種，在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。下面我們來(lái)看幾組勾股定理證明的簡(jiǎn)單介紹（介紹劉徽?qǐng)D、加菲爾德圖），希望同學(xué)們課下也去思考一種證明勾股定理的方法。
分析：課例2中的兩次活動(dòng)都運(yùn)用了動(dòng)手操作的形式，非常符合中學(xué)生好奇性強(qiáng)的心理特點(diǎn)，幾乎所有的學(xué)生都興趣盎然地參與了整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并在教師的提問(wèn)下進(jìn)行積極的思考與探索。新課程下的學(xué)生不希望老師經(jīng)常給他們一些輕而易舉就能解決的問(wèn)題，有時(shí)他們渴望做一個(gè)探索者、研究者、論證家。而上面的兩個(gè)活動(dòng)正是為學(xué)生提供了這樣的氛圍與平臺(tái)，使學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中體會(huì)了從特殊到一般的論證思想，整個(gè)設(shè)計(jì)提倡多樣化問(wèn)題解決的思維方式，在活動(dòng)中完成了思維的不斷發(fā)展。最后老師展示了一些較為典型的證明方法激發(fā)學(xué)生思考，也為學(xué)生課下學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
三、創(chuàng)造性地使用教材
上述兩位老師都在課堂中創(chuàng)造性地使用教材，那創(chuàng)造性地使用教材究竟有哪些可取之處呢？筆者認(rèn)為有三點(diǎn)：首先，它要求教師要進(jìn)一步樹(shù)立課程意識(shí)，以新的課程觀（學(xué)生觀、教材觀、課程資源觀）來(lái)重新審視、規(guī)劃教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和方法——以更高、更寬的眼光來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)、看待孩子，而不僅僅局限在教材和一時(shí)的教學(xué)效果。其次，教師在創(chuàng)造性使用教材中應(yīng)充分認(rèn)識(shí)明確教學(xué)目的的重要性。每節(jié)課、每次活動(dòng)都應(yīng)有明確的教學(xué)目的，而不是為了創(chuàng)造性地使用教材而輕率、刻意地去更改教材內(nèi)容等等。教學(xué)手段與教學(xué)目的和諧一致的原則是創(chuàng)造性教材使用的基本著眼點(diǎn)與歸宿。最后，希望教師們?cè)趧?chuàng)造性地使用教材的過(guò)程中獲得專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)。一是廣泛吸收各種教材的精華與長(zhǎng)處，進(jìn)行合理整合，逐步形成自己的東西；二是結(jié)合個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、研究成果和本地實(shí)際，嘗試編制富有時(shí)代氣息和地方特色的校本教材，從而進(jìn)一步豐富和完善現(xiàn)行的教材體系。當(dāng)教師在自己的教學(xué)活動(dòng)中有了明顯的課程意識(shí)和研究、探索意識(shí)，教師就不再是普通的“教書(shū)匠”，而是已經(jīng)步入到學(xué)者型、專(zhuān)家型的實(shí)踐研究者行列，其專(zhuān)業(yè)化教學(xué)水平必然得到全面發(fā)展與提高。
【摘 要】勾股定理是數(shù)學(xué)歷史上最為古老的定理，也是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的定理，其相關(guān)歷史在《數(shù)學(xué)》書(shū)中以引入、例題、作業(yè)題、閱讀材料等多種形式體現(xiàn)，為數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)奠定了基礎(chǔ)，使教學(xué)方式和處理方法更加靈活多樣.鑒于此，本文以“勾股定理”的教學(xué)為例，結(jié)合自己教學(xué)實(shí)踐和學(xué)習(xí)思考，闡述數(shù)學(xué)教學(xué)中勾股定理歷史的融入.
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；勾股定理歷史；融入；教學(xué)策略
1.勾股定理歷史融入教學(xué)的意義
1.1 有利于激發(fā)興趣，培養(yǎng)探索精神
勾股定理的證明是一個(gè)難點(diǎn).在數(shù)學(xué)教學(xué)中適時(shí)引入數(shù)學(xué)史中引人入勝和富有啟發(fā)意義的歷史話題或趣聞?shì)W事，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼感，可使學(xué)生明白數(shù)學(xué)并不是一門(mén)枯燥無(wú)味的學(xué)科，而是一門(mén)不斷發(fā)展的生動(dòng)有趣的學(xué)科，從而激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
1.2 有利于培養(yǎng)人文精神，加強(qiáng)歷史熏陶
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育.浙教版新教材對(duì)我國(guó)勾股定理數(shù)學(xué)史提得很少，其實(shí)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)于勾股定理發(fā)現(xiàn)和證明在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)形結(jié)合思想更具有重大意義。
2.勾股定理歷史融入教學(xué)的策略
在勾股定理教學(xué)的過(guò)程中，要求我們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中，注意結(jié)合教學(xué)實(shí)際和學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)一定的目的，對(duì)勾股定理歷史資源進(jìn)行有效的選擇、組合、改造與創(chuàng)造性的加工，使學(xué)生容易接受、樂(lè)于接受，并能從中得到啟發(fā).在實(shí)踐過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)以下幾種途徑與方法是頗為適宜的.
2.1在情景創(chuàng)設(shè)中融入勾股定理歷史
建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)情景創(chuàng)設(shè)要盡可能的真實(shí)，數(shù)學(xué)史總歸是真實(shí)的.情景創(chuàng)設(shè)可以充分考慮數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景和發(fā)展歷史，以數(shù)學(xué)史作為素材創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，不僅有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，也是對(duì)學(xué)生的一種文化熏陶.
案例1：
師：同學(xué)們知道勾股定理嗎？
生：勾股定理？地球人都知道?。ū娦Γ?
師：要我說(shuō)，如果有外星人，也許外星人也知道.大家知道世界上許多科學(xué)家都在探尋其他星球上的生命，為此向宇宙發(fā)射了許多信號(hào)：如語(yǔ)言、聲音、各種圖形等.我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)建議向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形，并說(shuō)：如果宇宙人是文明人，他們一定會(huì)認(rèn)識(shí)這種“語(yǔ)言”的.（投影顯示勾股圖）
可以說(shuō)，禹是世界上有文字記載的第一位與勾股定理有關(guān)的人.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載有商高這樣的話：……我們做成一個(gè)直角三角形，這形亦稱(chēng)曰[勾股形].它的距邊名叫[勾]，長(zhǎng)度為三；另一邊名叫[股]，長(zhǎng)度為四；斜邊名叫[弦]，長(zhǎng)度為五.勾股弦三邊，若各自乘，我們就可由其中任何兩邊以求出第三邊的長(zhǎng)……
《周髀算經(jīng)》卷上還記載西周開(kāi)國(guó)時(shí)期周公與商高討論勾股測(cè)量的對(duì)話，商高答周公問(wèn)時(shí)提到“勾廣三，股修四，經(jīng)偶五”，這是勾股定理的特例.卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀(jì)）的對(duì)話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并兒開(kāi)方除之，得邪至日.”
由此看來(lái)，《周髀算經(jīng)》中已經(jīng)利用了勾股定理來(lái)量地測(cè)天.勾股定理又叫做“商高定理”.畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱(chēng)為"畢達(dá)哥拉斯定理"，以后就流傳開(kāi)了.
2.2在定理證明中融入勾股定理歷史
數(shù)學(xué)史不僅給出了確定的知識(shí)，還可以給出知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程，對(duì)這種過(guò)程的再現(xiàn)，不僅能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程，還可以形成探索與研究的課堂氣氛，使得課堂教學(xué)不再是單純地傳授知識(shí)的過(guò)程.
案例2.：
劉徽（公元263年左右）的證明：
劉徽用了巧妙的“出入相補(bǔ)”原理證明了勾股定理，“出入相補(bǔ)”見(jiàn)于劉徽為《九章算術(shù)》勾股數(shù)──“勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)，因就其余不動(dòng)也，合成弦方之冪，開(kāi)方除之，即弦也.”如何將勾方與股方出入相補(bǔ)成弦方，劉徽未具體提示，學(xué)界比較常見(jiàn)的推測(cè)是如下圖.
③剪拼法（學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證）
證明方法之特征：數(shù)形結(jié)合證法，建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，主要是用拼圖的方法證明，使數(shù)學(xué)問(wèn)題趣味化.
翻開(kāi)古今的數(shù)學(xué)史，不僅勾股定理的歷史深厚幽遠(yuǎn)，所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都蘊(yùn)涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓(xùn).將數(shù)學(xué)史的知識(shí)融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)史料的功能，是數(shù)學(xué)教育改革的一項(xiàng)有力的措施.正象法國(guó)數(shù)學(xué)家包羅·朗之萬(wàn)所說(shuō)：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加入歷史具有百利而無(wú)一弊.”
摘要：對(duì)人教版和北師大版數(shù)學(xué)教材中“勾股定理”一章數(shù)學(xué)史編排模式的比較發(fā)現(xiàn)：兩版本教材在數(shù)學(xué)史的設(shè)計(jì)上各具特色，都力求以多種方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史，北師大版比人教版更加注重學(xué)生的實(shí)踐操作能力和交流能力的培養(yǎng)，人教版更關(guān)注學(xué)生的情感；反思發(fā)現(xiàn)兩版本教材在數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中的弱點(diǎn)：數(shù)學(xué)史的運(yùn)用過(guò)于淺顯、缺乏與信息技術(shù)的整合。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；勾股定理；教材比較
一、引言
數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課程的整合已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育界的一個(gè)熱點(diǎn)話題。張奠宙先生指出：在數(shù)學(xué)教育中，特別是中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識(shí)是進(jìn)行素質(zhì)教育的重要方面?！度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確提出，“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中，教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識(shí)，包括數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料”。數(shù)學(xué)是積累的科學(xué)，“它的發(fā)展并不合邏輯，數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)際情況與我們學(xué)校里的教科書(shū)很不一致”。根據(jù)歷史發(fā)生原理，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解與數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有很大的相似性。一套好的教材若要返璞歸真地反映知識(shí)的來(lái)龍去脈、思想方法的深刻、內(nèi)涵以及科學(xué)文化的進(jìn)步，就必須融入一些簡(jiǎn)略的數(shù)學(xué)史以啟發(fā)思維、開(kāi)闊視野、激發(fā)興趣。這就使得在教材的編寫(xiě)與修訂過(guò)程中，合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)史內(nèi)容及其編排方式顯得尤為重要?；谝陨险J(rèn)識(shí)，本文僅對(duì)人民教育出版社和北京師范大學(xué)出版社初中數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“人教版”、“北師大版”）中勾股定理一章的數(shù)學(xué)史進(jìn)行比較分析。
二、調(diào)查與分析
首先對(duì)人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)?搖數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）》和北師大版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)?搖數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）》勾股定理一章中的數(shù)學(xué)史進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體見(jiàn)下表1。
從表1可以看出，在勾股定理這一章中兩版本教材都呈現(xiàn)了大量史料，但在數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)方式和選材上，又各有側(cè)重點(diǎn)。據(jù)表1，兩版本教材在本章各出現(xiàn)數(shù)學(xué)史11處、13處，主要分布在正文、習(xí)題、專(zhuān)題和閱讀材料中。（人教版以“閱讀與思考”呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史料，北師大版以“讀一讀”這一欄目呈現(xiàn)史料，為統(tǒng)一起見(jiàn)，統(tǒng)稱(chēng)閱讀材料；這里的“專(zhuān)題”多是指在相關(guān)知識(shí)旁邊以框架的形式對(duì)某些內(nèi)容作簡(jiǎn)要介紹。）此外，北師大版第一節(jié)（探索勾股定理）和第三節(jié)（螞蟻這樣走最近）的引入是在歷史名題“折竹抵地”和“蜘蛛與蒼蠅”問(wèn)題的基礎(chǔ)上改編的，雖然表面文字上看不出歷史的影子，但是我們?cè)诮y(tǒng)計(jì)時(shí)仍把這兩處歸為數(shù)學(xué)史料。
三、章前內(nèi)容和數(shù)學(xué)家的設(shè)計(jì)
人教版在章前圖文并茂，不僅呈現(xiàn)了2002年北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)“趙爽弦圖”，還簡(jiǎn)要解釋了勾、股、弦所表示的含義，并在此基礎(chǔ)上提出了兩個(gè)問(wèn)題，進(jìn)而交待了這一章所要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。這樣的設(shè)計(jì)不僅激起了學(xué)生的求知欲、好奇心，還能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前對(duì)本章要干啥有一個(gè)大概的了解，同時(shí)也便于學(xué)生在學(xué)習(xí)完這章后的自我評(píng)估。比起北師大版在章前簡(jiǎn)單列出各文明古國(guó)關(guān)于勾股定理說(shuō)法的設(shè)計(jì)更為人性化。
兩版本教材在介紹數(shù)學(xué)家時(shí)，都是簡(jiǎn)要的說(shuō)明數(shù)學(xué)家的生平（如國(guó)籍、年代、出生地等）及做出的貢獻(xiàn)，并沒(méi)有體現(xiàn)數(shù)學(xué)家遭遇的困惑、挫折、失敗的經(jīng)歷。使學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)家所想到的定理是理所當(dāng)然的，未能體現(xiàn)數(shù)學(xué)家在創(chuàng)作過(guò)程中斗爭(zhēng)、挫折以及數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱難漫長(zhǎng)的道路。相比北師大版，人教版在此有一個(gè)特色，也是人教版整套教材的特色，即在介紹數(shù)學(xué)家時(shí)附有數(shù)學(xué)家的頭像（本章附有畢達(dá)哥拉斯圖像），這樣能喚起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)史的親近、肅穆之感。而北師大版在這方面就稍顯遜色，根據(jù)劉超的統(tǒng)計(jì)，在初中六本教材中人教版有五處附有數(shù)學(xué)家圖像，而北師大版僅有一處（并不是此章）。
四、對(duì)兩版本教材的思考
人教版在勾股定理及其逆定理的開(kāi)始分別以數(shù)學(xué)家的故事和古埃及人得到直角的方法引入數(shù)學(xué)知識(shí)，而北師大版在第一、三節(jié)都是以實(shí)際問(wèn)題情境引入數(shù)學(xué)內(nèi)容的，但這兩處的情境都來(lái)源于數(shù)學(xué)歷史名題。兩版本在此對(duì)數(shù)學(xué)史用的都比較淺顯，沒(méi)有深挖史料背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)史只是作為一個(gè)情景用來(lái)引出相關(guān)內(nèi)容的。這只是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的初級(jí)階段，但我們并不能說(shuō)這種融入方式是低級(jí)的或是不好的。一方面，初級(jí)階段是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，進(jìn)入高級(jí)階段不可逾越的階段，具有重要意義，比如激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)積極性；另一方面，教材的這種設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了教材的靈活性和多樣性，便于教師對(duì)內(nèi)容的重新加工。因此，對(duì)這兩種引入方式我們不可妄加斷言其好壞，唯獨(dú)希望各相關(guān)領(lǐng)域人員對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法做認(rèn)真的思考，對(duì)數(shù)學(xué)史料進(jìn)行加工和創(chuàng)造，深挖史料背后隱含的價(jià)值，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的作用和價(jià)值。
現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使得計(jì)算機(jī)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化之間的橋梁。兩版本教材除了讓學(xué)生自己上網(wǎng)搜索相關(guān)內(nèi)容外，并沒(méi)有涉及與信息技術(shù)有關(guān)的內(nèi)容?！肮垂啥ɡ怼弊鳛閹缀跏侨澜缰袑W(xué)都要介紹的定理，其證明方法就有400多種，這些證法反映了東西方不同的文化。這應(yīng)引起兩版本教材編寫(xiě)者的重視，以便在教材修訂時(shí)注重相關(guān)數(shù)學(xué)史與信息技術(shù)的整合。
