發(fā)布時間：2023-03-15 15:04:19
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們?yōu)槟x了8篇的解方程應用題樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發(fā)，請盡情閱讀。
關鍵詞：直譯法；小學數學；方程應用題
中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2013）36-0095-02
列方程解應用題的一般步驟是：審、設、列、解、驗、答。
審題：審題就是要弄清楚題目中事物的已知量和未知量間的基本數量關系。
設元：合理選擇未知數是解題的關鍵步驟之一。一般設直接未知數，即把題目所求量設為x。特殊情況下也可設間接未知數，即把與所求量相關的某個量設作x.
列方程：把題目中用語言敘述的數量關系用數學式子表示出來。格局題目所設的條件，利用等量關系布列含有未知數的等式——方程。
解方程：求出未知數x。
檢驗：檢查驗證方程得解是否合乎題意和實際。
答：寫出正確的答語。
解決這類問題的方法很多，現(xiàn)結合實例介紹一下“直譯法”以供參考?！爸弊g法”即將題目中的關鍵性信息或數量及各個數量之間的關系翻譯成數學式子，然后根據代數式之間的內在聯(lián)系找出數量關系。
【例1】2009年12月聯(lián)合國氣候會議在哥本哈根召開，從某地到哥本哈根，若乘飛機需要3小時，若乘汽車需要9小時。這兩種交通工具平均每小時二氧化碳的排放量之和為70千克，飛機全程二氧化碳的排放總量比汽車的多54千克，分別求飛機和汽車平均每小時二氧化碳的排放量。
【分析】題目中設計到兩種交通工具平均每小時二氧化碳的排放量，我們用“飛機”代替飛機平均每小時二氧化碳的排放量，用“汽車”代替平均每小時二氧化碳的排放量。根據題目中數學語言，我們可以直譯得到兩個等量關系：①飛機+汽車=70，②3飛機-9汽車=54。然后利用①來設未知數，用②列方程即可。
【解】設飛機平均每小時二氧化碳的排放量為x千克，則汽車平均每小時二氧化碳的排放量為（70-x）千克，根據題意，得
3x-9（70-x）=54
3x-630+9x=54
？搖？搖12x=684
？搖？搖X=57
70-x=70-57=13（千克）
【答】飛機和汽車平均每小時二氧化碳的排放量分別為57千克和13千克。
【例2】一位婦女在河邊洗碗，鄰居問：“家里來了多少客人，要用這么多碗？”她回答說：“客人每人用一個飯碗，每兩位合用一個菜碗，每三位合用一個湯碗，共用了66個碗?！彼揖烤箒砹硕嗌傥豢腿?？（我國古代的數學問題）
【分析】題目中有很多的日常用語，根據這些語言的敘述我們知道這位婦女家所來的客人的人數是1，2，3的倍數，而1，2，3的最小公倍數是6，所以我們可以設她家來了6x位客人。然后把題目中日常用語翻譯乘代數式。
從表格中很容易得到方程。
【解】設她家來了6x位客人，根據題意，得
？搖？搖6x+3x+2x=66
？搖？搖？搖？搖11x=66
？搖？搖？搖？搖？搖x=6
？搖？搖6x=6×6=36（位）
【答】她家來了36位客人。
【例3】某校六年級近期實行小班教學，如果每間教室安排20名學生，那么缺少3間教室；如果每間教室安排24名學生，那么空出一間教室。問共有教室多少間？六年級有多少人？
【分析】本題中有2個未知量：人數和教室間數。我們可以設原來每人搬x塊磚，用“人”字代表原來人數，用“教”代表教室間數。由“如果每間教室安排20名學生，那么缺少3間教室”得到代數式：人=20（教+3）；由“如果每間教室安排24名學生，那么空出一間教室”得到代數式：人=24（教-1）.根據如此分析很容易看出我們可以用人數相等來列方程。
【解】設某校共有x間教室，根據題意，得
？搖？搖20（x+3）=24（x-1）
？搖？搖20x+60=24x-24
？搖？搖？搖？搖84=4x
？搖？搖？搖？搖x=21
？搖？搖？搖？搖20（x+3）=20×24=480（人）
【答】共有教室21間，六年級有480人。
【例4】甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米，甲、乙從A地、丙從B地同時相向出發(fā)，丙遇到乙以后2分鐘又遇到甲。求A、B兩地的距離。
【分析】由于路程=速度×時間，現(xiàn)已知速度求距離，故可以直接設距離為x，也可設時間為x，現(xiàn)用兩種方法解之。
【解法1】設乙、丙相遇時已用了x分鐘，則甲、丙相遇時用了（x+2）分鐘，故A、B兩地的距離等于乙、丙相遇時乙、丙所行路程的和，也等于甲、丙相遇時甲、丙所行路程的和。
乙、丙相遇時乙、丙所行路程的和=（60+70）x=130x
甲、丙相遇時甲、丙所行路程的和=（50+70）×（x+2）
？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖=120x+240
所以有方程130x=120x+240
解這個方程得x=24，即乙、丙24分鐘相遇。
所以A、B兩地的距離=130×24=3120（米）。
【解法2】設A、B兩地的距離為x米。則乙、丙相遇所需時間為x÷（60+70）分鐘，甲、丙相遇所需時間為x÷（50+70）分鐘，由此得方程
x÷120-x÷130=2
解這個方程，在原方程左右兩邊同時乘以（120×130）得
130x-120x=2×120×130
？搖？搖10x=31200
？搖？搖X=3120
教學目的
1．通過復習，使學生能夠運用所學知識，采用列方程的方法解答應用題．
2．通過復習，使學生能夠準確的找出題目中的等量關系．
3．培養(yǎng)學生的分析以及綜合能力．能夠從不同角度解決同一個問題．
教學重點
通過復習，使學生能夠準確的找出題目中的等量關系．
教學難點
通過復習，使學生能夠準確的找出題目中的等量關系．
教學過程
一、復習準備．
1．求未知數．
×＝－＝÷＝1
－＝÷＝1－＝
解方程求方程的解的格式是什么？
2．找出下列應用題的等量關系．
①男生人數是女生人數的2倍．
②梨樹比蘋果樹的3倍少15棵．
③做8件大人衣服和10件兒童衣服共用布31.2米．
④把兩根同樣的鐵絲分別圍成長方形和正方形．
我們今天就復習運用題目中的等量關系解題．（板書：列方程解應用題）
二、復習探討．
（一）教學例3．
一列火車以每小時90千米的速度從甲站開往乙站，同時有一列貨車以每小時75千米的速度從乙站開往甲站，經過4小時相遇，甲乙兩站的鐵路長多少千米？
1．讀題，學生試做．
2．學生匯報（可能情況）
（1）（90＋75）×4
提問：90＋75求得是什么問題？再乘4求的是什么？
（2）90×4＋75×4
提問：90×4與75×4分別求的是什么問題？
（3）÷4＝90＋75
提問：等號左邊表示什么？等號右邊表示什么？對不對？為什么？
（4）÷4－75＝90
提問：等號左邊表示什么？等號右邊表示什么？對不對？為什么？
（5）÷4－90＝75
提問：等號左邊表示什么？等號右邊表示什么？對不對？為什么？
3．討論思考．
（1）用方程解這道應用題，為什么你們認為這三種方法都正確？
（等號的左右表示含義相同）
（2）列方程解應用題的特點是什么？
兩點：
變未知條件為已知條件，同時參加運算；
列出的式子為含有未知數的等式，并且左右表示的數量關系一致
（3）怎樣判定用方程解一道應用題是否正確？（方程的左右是否為等量關系）
4．小結．
（1）小組討論：用方程解應用題和用算術方法解應用題，有什么不同點？
（2）小組匯報：
①算術方法解應用題時，未知數為特殊地位，不參加運算；用方程解應用題時，未知數與已知數處于平等地位，可以參加列式．
②算術方法解應用題時，需要根據題意分析數量關系，列出用已知條件表示求未知數的量；用方程解應用題時，根據題目中的數量關系，列出的是含有未知數的等式．
（二）變式反饋：根據題意把方程補充完整．
1．甲乙兩站之間的鐵路長660千米．一列客車以每小時90千米的速度從甲站開往乙站，同時有一輛貨車以每小時75千米的速度從乙站開往甲站．經過多少小時兩車相遇？
2．甲乙兩站之間的鐵路長660千米．一列客車從甲站開往乙站，同時有一輛貨車從乙站開往甲站．經過4小時兩車相遇，客車每小時行90千米，貨車每小時行多少千米？
教師提問：這兩道題有什么聯(lián)系？有什么區(qū)別？
三、鞏固反饋．
1．根據題意把方程補充完整．
（1）張華借來一本116頁的科幻小說，他每天看頁，看了7天后，還剩53頁沒有看．
_____________＝53
_____________＝116
（2）媽媽買來3米花布，每米9.6元，又買來元毛線，每千克73.80元．一共用去139.5元．
_____________＝139.5
_____________＝9.6×3
（3）電工班架設一條全長米長的輸電線路，上午3小時架設了全長的21%，下午用同樣的工效工作1小時，架設了280米．
_____________＝280×3
2．解應用題．
東鄉(xiāng)農業(yè)機械廠有39噸煤，已經燒了16天，平均每天燒煤1.2噸．剩下的煤如果每天燒1.1噸，還可以燒多少天？
小結：根據同學們的不同方法，我們需要具體問題具體分析，用哪種方法簡便就用哪種方法．
3．思考題．
甲乙兩個港相距480千米，上午10時一艘貨船從甲港開往乙港，下午2時一艘客船從乙港開往甲港．客船開出12小時后與貨船相遇．如果貨船每小時行15千米．客船每小時行多少千米？
四、課堂總結．
通過今天的復習，你有什么收獲？
五、課后作業(yè)．
1．師傅加工零件80個，比徒弟加工零件個數的2倍少10個．徒弟加工零件多少個？
2．徒弟加工零件45，比師傅加工零件個數的多5個．師傅加工零件多少個？
六、板書設計
列方程解應用題
列方程解應用題的竅門枚不勝舉，其中找準等量關系處于核心地位，類似解決價格問題、銀行利率問題、溶液濃度問題和工程問題等必須通過找準等量關系才能解決問題.它包括列表分析法、譯式分析法、線示分析法、逆推法和圖示分析法等.在初中數學中涉及的列方程求解應用題的題型中，前四種方法的使用比較普遍.
其一，列表分析法.所謂列表分析法就是將題目中的已知量和未知量表示到表格中，綜合利用表格分析出各種量之間的關系，最后列出相應方程的方法.此法操作比較簡單，大部分學生容易理解和掌握.
其二，譯式分析法.顧名思義，譯式分析法就是將題目中關鍵性的詞語“翻譯”成代數式，把相應的文字“翻譯”成代數語言，從而順利分析出它們之間的內在關系.一般按照三大步驟進行：
首先，教師要有的放矢地引導學生設出未知量，也就是“翻譯”未知量.
其次，讓學生明白題目中的主要屬性，即：“翻譯”屬性量，用已知與和未知兩個要素組合成的代數式，從而為列式作好準備.
第三，我們要積極鼓勵學生成功“翻譯”等量，即：同時表示一個屬性量的兩個代數值一定相等.學生只有在分析的基礎上正確理解題意，逐項進行“翻譯，”才能在完成“翻譯”時初步列出方程.
例1某縣有42萬人口，計劃一年后農村人口增加1.1%，城鎮(zhèn)人口增加0.8%，這樣全縣人口將增加1%，求這個縣現(xiàn)在的農村人口與城鎮(zhèn)人口各多少.
分析該題有兩個未知數，農村人口與城市人口.
屬性量和關系：①農村人口=總人口-城鎮(zhèn)人口，②農村人口×1.1%=總人口×1%-城鎮(zhèn)人口×0.8%.
變換過程：①設目前該縣城鎮(zhèn)人口是x萬，農村人口則為(42-x)萬；②一年后該縣的城鎮(zhèn)人口增加(0.8%x)萬，農村人口增加1.1%(42-x)萬，總人口增加42×1%萬. ③由上述題意得方程：1.1%(42-x)=1%×42-0.8%x，解方程得x=14，則42-x=28.所以，農村人口是28萬，城鎮(zhèn)人口是14萬.
其三，線示分析法.這個方法比較適合相遇問題和追擊問題，一般用線示分析法通俗易懂，能促使學生快捷地找到題目中相應的等量關系.
其四，逆推法.所謂逆推法，俗稱還原法，也就是把問題發(fā)生的順序倒過來，采用逆向思維推算的方法逐步還原來解答一些問題.在平時，不少學生在解應用題時習慣用直接解法，但有些較難的比較適宜使用逆推法，從而達柳暗花明又一村的美妙境界.
二、采用總分法是列方程解應用題航燈
采用總分法列方程解應用題能使學生方向明確，從而幫助學生按照總量等于各分量之和正確列出方程，但在操作過程中學生千萬不能遺漏各分量.
例2這里曾經埋葬著丟番圖，請你計算一下他一生經過了多少歲月歷程，他一生的六分之一是快樂的童年，十二分之一是童趣的少年，再度過七分之一的時光，他建立了美滿幸福的小家庭.五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數的一半.晚年喪子的老人真可憐，悲痛之中度過了風燭殘年.試測算一下，丟番圖的壽命(總年齡)到底多少？
分析這是著名的丟番圖的“墓志銘”，題目巧妙地把他活的總壽命分割成若干時段，而他各時段的分年齡之和就是他的壽命.
解：設丟番圖的一生活了x年，據題意得：x=x6+x12+x7+5+x2+4，解之得x＝84，所以，丟番圖的壽命是84歲.同時，我們在由此題的解答中，還可知道古希臘的這位大數學家丟番圖33歲結婚，38歲得子，80歲死了兒子，兒子只活42歲.
三、駕馭多媒體技術是列方程解應用題的添加劑
初中數學知識是比較抽象的，不少學生學習數學時感到力不從心.假如合理駕馭多媒體技術可以扭轉枯燥乏味的被動局面，不僅彌補學生的生活經驗不足，而且激發(fā)學生的學習積極性.
例3已知5臺A型機器一天生產的合格成品裝滿8箱后還剩4個，7臺B型機器一天生產的合格成品裝滿11箱后還剩1個，每臺A型機器比B型機器一天多生產1個成品，試求每箱有多少個成品.
由于學生不僅不熟悉車間的生產勞動的情況，而且對這個車間A、B兩種型號的機器模糊不清，因此，難于找到問題中蘊含的等量關系，給解答問題造成了障礙.針對類似情況，我們不妨利用現(xiàn)代多媒體技術，播放一些社會、生產片斷，讓學生在視覺上直觀機器生產成品的情況，從而有利于把抽象的應用題形象化，有利于激發(fā)學生興趣，教學效果顯著.
四、巧用相似思維是列方程解應用題的后盾
【關鍵詞】：函數思想；方程思想；應用
[Abstract]: function and equation is the most important content in middle school mathematics. Function and equation thought is one of the important basic thought of in the high school mathematics, has been widely used in problem solving, over the years is a key test of the college entrance examination.
[keyword]: function; equation; application
中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：2095-2104（2013）
函數與方程是中學數學中最為重要的內容。函數與方程思想更是中學數學中的重要基本思想之一，在解題中有著廣泛的應用，是歷年來高考考查的重點。
函數的思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，再利用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數思想的精髓就是構造函數。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
方程的思想，是分析數學問題中變量間的等量關系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。
方程的思想與函數的思想密切相關，函數與方程的思想方法，幾乎滲透到中學數學的各個領域，在解題中有著廣泛的運用。對于函數，當時，就轉化為方程，也可以把函數式看做二元方程，函數與方程這種相互轉化的關系十分重要。
函數與表達式也可以相互轉化，對于函數，當時，就轉化為不等式，借助與函數的圖像與性質可以解決不等式的有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式。
數列的通項或前項和時自變量為自然數的函數，用函數觀點去處理數列問題也是十分重要。
函數與二項式定理密切相關，利用這個函數，用賦值法和比較系數法可以解決很多有關二項式定理的問題。
解析幾何中的許多問題，例如直線與二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，這都涉及二次方程與二次函數的有關理論。
立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用列方程或建立函數表達式的方法加以解決。建立空間向量后，立體幾何與函數的關系就更加密切。
函數思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助初等函數的性質，解有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題;二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關問題，達到化難為易、化繁為簡的目的。
高考中的方程和不等式問題包括方程、不等式的求解及方程、不等式觀點的應用，可以分成逐漸提高的四個層次。
第一層次：解方程或不等式，主要是指解代數（一次、二次等）方程或不等式，指數、對數方程或不等式，三角方程或不等式，復數方程等；
第二層次：對帶參數的方程或不等式的討論，常涉及二次方程的判別式、韋達定理、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立的不等式等問題；
第三層次：轉化為方程的討論，如曲線的位置關系（包括點與曲線及直線與曲線的位置關系）、函數的性質、集合的關系等；
第四層次：構造方程或不等式求解問題。
其中第三、四層次（特別是第四層次）已經進入到方程、不等式觀點應用的境界，即把方程、不等式作為基本數學工具去解決各個學科中的問題。
縱觀中學數學，可謂是以函數為中心，以函數為綱，“綱舉目張”，抓住了函數這個“綱”就帶動起了中學數學的“目”。即使對函數極限、導數的研究，也完全是以函數為對象、為中心的。熟練掌握基本初等函數的圖像和性質，是應用函數與方程思想解題的基礎。善于根據題意構造、抽象出函數關系式是用函數思想解題的關鍵。
函數思想
所謂函數思想，不僅僅是使用函數的方法來研究和解決函數的問題，它的精髓是運用函數分析問題、、解決問題的觀點、方法，是通過構造函數關系，使用函數方法來解決問題的思想。
構造函數，運用函數的性質
例1.（1）已知關于的方程有唯一解，求的值；
（2）解不等式。
分析：（1）構造函數，則問題轉化為求的零點唯一時的。
（2）由觀察可構造函數再利用函數的性質，解決問題。
解析：（1）令，
的圖像關于軸對稱，而題設方程由唯一解，從而此解必為（否則必有另一解），。
（2）設，易證在區(qū)間內為增函數。點評：有關不等式、方程及最值之類的問題，通過構造函數關系式，借助函數的圖像與性質，?？墒箚栴}簡單得解。
2.選定主元，揭示函數關系
例2．對于的一切值，使不等式恒成立的的取值范圍是
分析：從一個含有多變元的數學問題里，選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數關系。
解析; 且，，即。①
當時，不定式①不成立。
當時，設。
當，
即又當，
即故的取值范圍時。
點評：本解的巧妙之處是“反客為主”，求x反而以a為主變元對x進行討論，這才是真正切中要害。若以x為主元對a進行討論，則問題的解決就繁就難多了。
3．選取變元，確定函數關系
例3．函數的值域是。
分析：一般思路是：平方，移項，孤立根式，再平方，可以化無理式為有理式。面對這樣一個低于四次的含雙變量的方程，其難度真不敢想象。然而，可考慮轉換選取新變元。
解析：由，設，
那么，
當
點評：雖然經選取變元后的函數簡潔明快，可以使人拍案叫絕，但須特別注意到：轉化后的函數上沒有單調性，故最大值不能在其右端點取得。
4.利用二項式定理構造函數
例4：求證：。
分析：構造函數，比較兩個展開式中的系數。
解析：令，展開式中的系數，又
其中的系數為，故=。
點評：利用函數，用賦值法或“二項”展開來比較系數可以解決許多二項式定理有關的問題。
5.用函數的思想方法解數列題
例5.已知不定式對一切大于1的自然數n都成立，求實數a的取值范圍。
分析：無法求和，常規(guī)數列的方法就不起作用了，故必須用函數的思想，用研究函數單調性的方法研究這個數列，求出最小值。
解析：令
，
所以為增函數，且
由題意得。
點評：利用數列的函數性質（本例為單調性）求出的最小值。用函數方法解決問題，正是函數思想的核心。
6.建立函數關系解應用題
例6.用總長為14.8m的鋼條制成一個長方體容器的框架，要求底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積。
分析：這里有四個變量：底面的長、寬、長方體的體積和高。設長、高可用x表示，容積y是x的函數。運用長方體的體積公式，建立目標函數表達式，再求函數的最大值。
解析：設容器底面寬為x(m),則長為x+0.5(m),高為
由，設容器的容積為y(m),則有
整理得，求導，得
，令即
解得。從而，在定義域內只有在。因此，當時，y取得最大值，這時，高為。
答：當容器的高為1.2m時，容積最大，最大容積是1.8(m)。
點評：此題容易忽視的時自變量x的取值范圍，缺少它，很難判斷求出的最大值是否符合題意。另外，適當設出自變量，建立函數關系是解此類題的關鍵。本題在求函數最大值時，是用求導的方法求出極值點，再根據實際情況判斷是最大值還是最小值。
7.函數思想在幾何中的應用
例7 如圖,是圓的直徑,垂直于圓所在平面,是圓周上任意一點,設,.求異面直線和的距離.
分析：因為異面直線間的距離是連結異面直線上任意兩點的線段中的最短者, 因此本題可用求函數最小值的方法來解, 這里建立函數表達式是解題的關鍵
解析： 在上任取一點,過點作于,過作于,連結,設,由題設易證
因為是等腰直角三角形,所以
在中,
因為,
所以,當時,
點評：本題主要是根據幾何關系建立函數關系式,通過解決函數問題來求出對應的幾何問題.
方程的思想
方程與函數密切相關，在解題中，方程的思想占有重要的地位，也是近年來高考所重點考查的數學思想方法之一。
解方程或分析方程的解
例8.已知實數成等差數列，成等比數列，且求。
分析：利用數列的有關公式，列出方程組求解。
解析：由題意得由1、2兩式，解得，將帶入3式，整理得
故。經驗算，上述兩組數符合題意。
點評：本題的列方程組和求解的過程，體現(xiàn)的就是方程的思想。
2通過換元構成新的方程
例9.關于的方程恒有解，求的取值范圍。
分析：通過換元將方程變?yōu)槎畏匠毯阌姓?，同時利用根與系數的關系。
解析：（法一）設原方程有解即方程有正根，
即，
解得
（方法二）設
①當
；
②.
綜上可得，。
點評：對于多元方程（含參數）通常有兩類辦法：一是換元，將問題轉化為二次方程，利用根與系數的關系或判別式，或者利用三角函數的有界性加以解決；二是分離變量構造函數，把方程有解轉化為求函數的值域，再根據函數的圖像和性質來解決。
3.構造方程求解
例10.設函數，且存在使得成立。
⑴若
⑵若直線的圖像交與M,N兩點，且M,N兩點的連線被直線平分，求出的最大值。
分析：對于⑴小題，由題設條件易得，由方程根的意義可構造一個根為的一元二次方程，再借助韋達定理發(fā)現(xiàn)與對稱軸的關系。最后運用二次函數的單調性可判斷出；第⑵小題可先建立的函數關系式，再運用均值不等式可求得的最大值。
解析：⑴由題意
的圖像的對稱軸為，
⑵
。由，代入直線方程，得
當且僅當。
點評：若沒有方程的思想意識，則不能從中觀察出m,n是某一個一元二次方程的兩根，從而也就無法得出這樣有用的關系式，使解答陷入困境。因此，由根的意義或韋達定理構造一元二次方程是最常見的思路，不可忽視。
函數與方程相互轉化的思想
解題時，不能局限于函數思想或方程思想，而應該根據兩者之間的相互關系，使其能相互轉化，以達到快速解題之目的。
例11.已知拋物線
⑴當為何值時，拋物線與軸有兩個交點？
⑵若關于的方程的兩個不等實根的倒數平方和不大于2，求的取值范圍；
⑶如果拋物線與軸相交于A,B兩點，與軸交于C點，且的面積等于2，試確定的值。
分析：⑴令函數，則轉化為求方程有兩個不等的實根時的值；⑵利用根與系數的關系轉化成解不等式；⑶建立面積的函數關系式，再求函數值為2時方程的解。
解析：⑴令據題意，須，
即。
⑵在得
所以m的取值范圍是
⑶由。
點評：型的拋物線，二次方程以及二次不等式之間相互關聯(lián)，應特別關注它們相互轉化時的等價性和互補性。
列方程解應用題是在用算術方法解應用題的基礎上進行教學的。它以四則運算的基本應用和常見的數量關 系為依據，綜合運用了用字母表示數、解方程等知識，有特殊的解題思路和方法，有完整的解題步驟和程序。
教材中“列方程解應用題”這一小節(jié)中的例1、例2，安排的是用方程解比較簡單的兩步計算應用題，且為 用算術解法時需要逆思考的題目。通過教學可以使學生清楚地看出列方程解應用題的基本方法和特點，了解兩 種解題方法的不同，較好地掌握用方程解題的思路，總結出解題的步驟。從而為后面學習用方程解一般的兩、 三步計算的應用題打下基礎。
列方程解應用題的思路比較簡單、順暢，思維難度小，且解法劃一，可以使一些應用題化難為易（特別是 逆向思考的還原應用題和兩步計算的和倍、差倍及分數應用題等），有明顯的優(yōu)越性，這對提高學生應用數學 基礎知識，解決簡單的實際問題的能力，有積極作用。
制定一節(jié)課的教學目標，通常可以從應掌握哪些基礎知識、基本技能；培養(yǎng)哪些能力；使學生受到哪些思 想品德教育及培養(yǎng)良好的學習習慣等方面考慮。
本課時的教學目標是：
1.初步學會列方程解應用題，初步掌握列方程解應用題的一般步驟和方法；
2.初步體會代數解法的優(yōu)越性，能正確地用方程解較簡單的、逆思考的兩步應用題；
3.培養(yǎng)學生分析、比較、概括的能力和認真思考、仔細檢驗的良好習慣。
本課時的重點是分析數量關系和根據等量關系正確地布列方程。
本課時的難點是確立與列算術式不同的表示等量關系的思路和等量關系的尋求。
本課時的關鍵是教會學生寫出顯示相等關系的數量關系式。
二
新知識教學前的準備
1.（1）出示比較簡單的、數據較小的方程， 讓學生用口算的方法解方程。
（2）出示比較簡單的、與例題相關的文字敘述題， 讓學生列出方程，并解方程。為尋求等量關系列方程 解應用題作好鋪墊。
2.出示課本中例1前的復習題，指名學生板演兩種解法， 其他學生座練，教師巡視注意輔導后進生。然后 師生共同評講，簡要指出：解法一需要逆向思考；解法二設原來有x千克后， 只需按題目敘述順序列出方程， 通過比較使學生初步體會方程解法的優(yōu)越性。進而教師再指出：解法二我們已經學過，實際就是列方程解應用 題，今天我們要學習用方程解答一些步數較多的應用題，這樣很自然地導入新課。
新知識教學中的要點
1.關于例1的教學，從算術方法解應用題到列方程解應用題， 是學生認識上的一次飛躍。學生初學列方程 解應用題時，容易受長期使用的算術解法的干擾。故要幫助學生做好從算術解法到代數解法的過渡工作。一方 面由例1前的復習題引伸為例1，使學生切實掌握常見的基本數量關系，找到新、舊知識的銜接點；另一方面由 已出現(xiàn)過的定向地把方程寫完全的題型，過渡到列方程解應用題，使學生初步確立方程解法的思路，并按照這 種思路去尋找題中的等量關系，這是至關重要的一步。
教學例1時，要具體說明解題步驟， 為后面概括解題步驟打好基礎。同時，要注意點撥和糾正各個步驟中 容易出現(xiàn)的問題。如：在設未知數時，設句要完整明白，并注上單位名稱；方程的解是數，不是數量，不要加 上單位名稱；答句和設句要一致等。
2.關于例2的教學，教學時，引導學生弄清題意， 明確哪些是已知的，哪些是未知的，要著重分析數量關 系，寫出體現(xiàn)相等關系的表達式，再列出方程。解方程及答讓學生自己完成。課本中的想一想：“這道題還可 以怎樣想？列出方程來。”教師要留給學生適當的思考空間，讓學生尋找不同的等量關系列出方程。
3.總結列方程解應用題的步驟的教學。通過比較兩例的教學過程，師生共同結合列方程解應用題的特點， 總結列方程解應用題的一般步驟。教師概括操作程序，即審題—選元—尋找等量關系—列方程—解方程—檢驗 —寫答。
新知識教學后的練習
1.練習要緊緊圍繞教學目標進行，如第1 題要求先找數量間的相等關系，再把每個方程補充完整；第2 題 結合解題過程說出列方程解應用題的步驟；第3題要求列出不同方程解題。這些都是為復習鞏固新知，實現(xiàn)教學 目標而服務的。
2.練習要注意循序漸進、由易到難，按上面三道練習題的順序排列，使學生在練習中對所學新知得到逐步 鞏固和提高。另外，還要注意對不同層次的學生提出不同的要求。如第1 題對優(yōu)等生可以要求找出其他相等關 系列方程；第3題對差生只要求能求得解答。
三
教學的基本思路和方法
1.處理好教與學的關系。教師既要做到點撥引導，又要敢于放手引導學生參與嘗試和討論，展開思維活動 。如列方程解應用題的關鍵之處，教師要著重指導學生思考、探索挖掘等量關系的方法；解題步驟的總結要啟 發(fā)學生結合實例分步予以概括等。
2.抓住本課時教學內容新舊知識聯(lián)系緊密的特點，直接從新舊知識的連接點展開，既有利于突出重點，突 破難點，又能節(jié)省教學時間，以便集中力量加強練習，提高教學效果。如例1 由復習題增添一個條件引伸而來 ，以復習題為基礎教學例1 有助學生明確新知新在何處及較順利地尋求等量關系列出方程。教學例1后，例2只 需著重指導解題的前兩步，后兩步則可放手讓學生自己去完成。
學習方法的指導
例1 某同學采用如圖1所示的裝置來研究光電效應現(xiàn)象。當用某單色光照射光電管的陰極K時，會發(fā)生光電效應現(xiàn)象。閉合開關S，在陽極A和陰極K之間加上反向電壓，通過調節(jié)滑動變阻器的滑片逐漸增大電壓，直至電流計中電流恰為零，此電壓表電壓值U稱為反向截止電壓，根據反向截止電壓，可以計算到光電子的最大初動能Ekm，現(xiàn)分別用頻率為v1和v2的單色光照射陰極，測量到反向截止電壓分別為U1和U2設電子質量為m，電荷量為e，則下列關系式中不正確的是（ ）。
A.頻率為ν1的光照射時，光電子的最大初速度vmax=■
B.陰極K金屬的逸出功W=hv1-eU1
C.陰極K金屬的極限頻率v0=
■
D.普朗克常數h=■
解析：由能量守恒可知A、B兩選項關系式正確，由光電效應方程h■-W=Ekm和Uq=Ekm，得逸出功W=hv1-eU1=hv2-eU2 =hv0可得普朗克常數h=■，將其代入后得v0=■，只有C選項的關系式不正確。
二、與磁場結合
例2 如圖2所示，真空中金屬板M、N相距為d，當N板用波長為λ的光照射時，電路中的電流恒為I。設電子的電荷量為e，質量為m，真空中光速為c。當垂直于紙面再加一勻強磁場，且磁感應強度為B時，電路中的電流恰好為零，求從N板逸出光電子的最大初動能和N板的逸出功？
解析：根據光電效應的原理，從N板逸出的光電子的動能和速度方向各不相同，加上磁場后，只要平行于N板且動能最大的電子不能到達M板，則其他方向，動能無論多大的電子均不能到達M板，此時，電路中電流恰好為零。設具有最大初動能的電子速率為v，由牛頓第二定律，有evB=m·■
得：v=■
故，電子的最大初動能Ekm=■mv2=■
根據愛因斯坦光電效應方程，設N板的逸出功為W，有 h■=W+Ekm
解得：W=h■-Ekm=h■-■
三、與平行板電容器結合
例3 如圖3，真空中有一平行板電容器，兩極板分別由鉑和鋅（其極限波長分別為λ1和λ2）制成，板面積為S，間距為d?，F(xiàn)用波長為λ（λ1
A.■（■） B.■（■）
C.■（■） D.■（■）
解析：λ1
四、光電方程中的逸出功不能為零
例4 分別用波長為λ的單色光照射兩塊不同的金屬板，發(fā)出的光電子的最大初動能分別為4eV和2eV，當改用波長為的單色光照射時，其中一塊金屬板發(fā)出的光電子的最大初動能為8eV，則另一塊金屬板發(fā)出的光電子的最大初動能為 （ ）。
A.4eV B.6eV C.10eV D.16eV
解析：由光電效應方程h■-W=Ekm可知，用波長為λ的單色光照射金屬板Ⅰ時，h■-W1=4，照射金屬板Ⅱ時，h■-W2=2；用波長為■的單色光照射金屬板Ⅰ時，h■-W1=8，照射金屬板Ⅱ時，h■-W2=EKm2，解得：EKm2=6eV，但是將h■-W1=4和h■-W1=8，聯(lián)立解得W1=0，所以B錯誤；用波長為■的單色光照射金屬板Ⅱ時，h■-W2=8，照射金屬板Ⅰ時，h■-W1=EKm1，EKm1=10eV，W1、W2均不為零。所以C正確。
五、與圖線結合
例5 如圖4所示是用光照射某種金屬時逸出的光電子的最大初動能隨入射光頻率的變化圖線，（直線與橫軸的交點坐標4.27，與縱軸交點坐標0.5）。由圖可知（ ）。
■
A.該金屬的極限頻率為4.27×1014 Hz
B.該金屬的極限頻率為5.5×1014 Hz
C.該圖線的斜率表示普朗克常量
一、使學生順利審題列方程
列方程解應用題的一般步驟為：
(1)弄清題意，找出已知條件和所述問題；
(2)根據題意確定等量關系，設未知數x；
(3)根據等量關系列出方程；
(4)檢驗。寫出答案。
其中找“等量關系”是列方程解應用題的關鍵。我在教學中對每道例題都堅持讓學生正確敘述其中的“等量關系”。這樣做，我認為有以下幾點好處：①有利于學生理解題意，找出“等量關系”。學生列方程有時感到困難，原因之一就在于對題意的理解還不透徹，忙于列方程，結果常常出錯。②有助于學生考慮問題的思路規(guī)范化。通過教學要使學生明確：解題之前，首先要在理解題意的基礎上，找出其中的“等量關系”，然后列方程。這樣就不會處于一種審題怕方程列不出來，而茫然不知所措的狀態(tài)。③有助于顯現(xiàn)未知數的設法?！暗攘筷P系”就是用語言或文字列出方程。因此，在所列的“等量關系”中，哪些量是已知的，哪些量需要設成未知數，便明顯可見。④有助于減少學生列方程的困難。從審題到列方程，對于理解能力較弱或數學基礎較差的學生來說，這一步的距離是比較長的，而“等量關系”是從應用題的事實到把內部聯(lián)系以方程為橋梁，用這樣的―個橋梁來過渡，再把“等量關系”翻譯”成方程。
例如：甲、乙騎自行車同時從相距65千米的兩地相向而行，2小時相遇。甲比乙每小時多騎2.5千米，求甲乙的時速各是多少?
分析：本題中的等量關系有：甲的時速=乙的時速+2.5千米肘，甲走的路程+乙走的路程=65千米。
未知：甲乙的時速。
通過分析我們可以設乙的時速為x千米，時，則甲的時速為(x+2.5)千米，日寸，其中的等量關系為“甲走的路程+乙走的路程=65千米”。
由分析可列方程為2(x+2.5)+2x=65，解x求出甲乙的時速。
二、明確正確列方程的三條標準
為了使學生能夠正確列出方程，并具有檢驗自己所列方程是否正確的能力，我結合例題講解了正確列方程的三條標準：①兩邊的意義相同。②兩邊的單位一致。③兩邊的數量相等。也就是說，左邊的代數式的意義若表示路程，右邊的代數式的意義也必須表.示路程，左邊若以“千米”為路程單位，右邊也必須以“千米”為路程單位，左邊總共代表的是10千米，右邊總共代表的也必須是10千米。因為，方程兩邊所代表的意義是通過代數式表達出來的，若不認真加以推敲，就容易犯兩邊意義不同、單位不統(tǒng)一的錯誤。如，有含鹽8％的鹽水40千克，要配制成含鹽20％的鹽水，需要加鹽多少克?學生很容易設成加入x克鹽，錯列為40×8％+x=20％(40+x)。由于單位不統(tǒng)一，數量不相等，這就破壞了“等量關系”，也歪曲了原題的意思。所以是錯誤的。實踐表明，明確提出列方程的三條標準對于提高學生列方程的能力有一定的積極作用。
三、為熟練列方程做好準備-
在講每一類型的應用題之前，都把基本關系式或解題要點加工整理，明確列出。―方面強調記憶，―方面配備列代數的例題及練習，使學生熟練地運用基本關系式列出代數式，向列方程靠近。如，在行程問題中，基本關系式可列為：①路程=速度×時間；②甲、乙相向運動的速度=甲的速度+乙的速度；③追趕的速度=迫者的速度―被迫者的速度；④順水的速度=靜水速度+水流速度；⑤逆水速度=靜水速度-水流速度。
工程問題的解題要點為：①把全工程看成“整體1”；②如果某人獨做某工程要a天完成，那么他的工作效率就是每天做全部工作的1／a，基本單位式為：工作效率×工作時間=工作量。
濃度配比問題的基本關系式為：①濃度=溶質質量，溶液重量×100％；②溶液重量=質重量+劑重量。
一、最值或參數的范圍
例1長度都為2的向量OA，OB的夾角為60°，點C在以O為圓心的圓弧AB〖TX（〗（劣弧）上，OC=mOA+nOB，則m+n的取值范圍是.
思維流程：
〖XCDP1.TIF〗
解析：建立平面直角坐標系，設向量OA=（2，0），向量OB=（1，〖KF（〗3〖KF）〗）.設向量OC=（2cosα，2sinα），0≤α≤〖SX（〗π3.
由OC=mOA+nOB，得（2cosα，2sinα）=（2m+n，〖KF（〗3〖KF）〗n），
即2cosα=2m+n，2sinα=〖KF（〗3〖KF）〗n，
解得m=cosα-〖SX（〗1〖KF（〗3〖KF）〗sinα，n=〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗sinα.
故m+n=cosα+〖SX（〗1〖KF（〗3〖KF）〗sinα=〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗3sin（α+〖SX（〗π3）∈[1，〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗3].
評注：求參數的取值范圍是函數、方程、不等式、數列、解析幾何等問題中的重要問題，解決這類問題一般有兩種途徑：其一，充分挖掘題設條件中的不等關系，構建以待求字母為元的不等式（組）求解；其二，充分應用題設中的等量關系，將待求參數表示成其他變量的函數，然后，應用函數知識求值域.
二、圖象交點或方程根的問題
例2設函數f（x）=〖SX（〗1x，g（x）=-x2+bx，若y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且僅有兩個不同的公共點A（x1，y1），B（x2，y2），則下列判斷正確的是（填序號）.
（1）x1+x2>0，y1+y2>0
（2）x1+x2>0，y1+y2
（3）x1+x20
（4）x1+x2
思維流程：
〖XCDP2.TIF〗
解析：由于函數y=f（x）的圖象在一、三象限且關于坐標原點對稱，函數y=g（x）的圖象過坐標原點，結合函數圖象可知點A，B一定只能一個在第一象限、另一個在第三象限，即x1x2
問題即為方程-x2+bx=〖SX（〗1x僅有兩個不同的實根，即方程x3-bx2+1=0有一個二重根、一個單根.根據方程根的理論，如果x1是方程x3-bx2+1=0的二重根，x2為一個單根，則x3-bx2+1=（x-x1）2（x-x2）=x3-（2x1+x2）x2+（x21+2x1x2）x-x21x2，這個等式對任意x恒成立，比較等式兩端x的系數可得-x21x2=1，則x20，所以x1+x2>0，y1+y2
評注：函數圖象的交點問題轉化為方程根的問題是重要的方程思想，同時方程根的判斷問題轉化為函數的零點問題也是重要的函數思想，在解決此類問題時要注意靈活應用.
三、不等式恒成立問題
例3已知函數f（x）=lnx-〖SX（〗14x+〖SX（〗34x-1，g（x）=-x2+2bx-4，若對任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求實數b的取值范圍.
思維流程：
四、與數列最值有關的問題
例4若數列{an}的通項公式為an=〖SX（〗83×（〖SX（〗18）n-3×（〖SX（〗14）n+（〖SX（〗12）n，（其中n∈〖WTHZ〗N〖WTBX〗*），且該數列中最大的項為am，則m=.
思維流程：
〖XCDP4.TIF〗
解析：令x=（〖SX（〗12）n，則0
令f′（x）=0，解得x1=〖SX（〗14，x2=〖SX（〗12，所以f（x）在（0，〖SX（〗14]上為增函數，在（〖SX（〗14，〖SX（〗12]上為減函數.
所以f（x）max=f（〖SX（〗14），即當x=〖SX（〗14時，f（x）最大.所以當n=2時，an取得最大值，即m=2.
評注：數列問題函數（方程）化法與形式結構函數（方程）化法類似，但要注意數列問題中n的取值范圍為正整數，涉及的函數具有離散性特點，這類問題主要涉及函數單調性與最值、值域問題的研究.
五、解析幾何中的參數問題
例5橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，短軸長為〖KF（〗2〖KF）〗，離心率為〖SX（〗〖KF（〗2〖KF）〗2，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B，且AP=3PB.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求m的取值范圍.
思維流程：
〖XCDP5.TIF〗
解析：（1）設橢圓C的方程為〖SX（〗y(tǒng)2a2+〖SX（〗x2b2=1（a>b>0），設c>0，c2=a2-b2，
由題意，知2b=〖KF（〗2〖KF）〗，〖SX（〗ca=〖SX（〗〖KF（〗2〖KF）〗2，所以a=1，b=c=〖SX（〗〖KF（〗2〖KF）〗2.
故橢圓C的方程為y2+〖SX（〗x2〖SX（〗12=1，即y2+2x2=1.
（2）設直線l的方程y=kx+m（k≠0），l與橢圓C的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），
由〖JB（{〗y(tǒng)=kx+m，2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，
Δ=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）>0，（*）
x1+x2=〖SX（〗-2kmk2+2，x1x2=〖SX（〗m2-1k2+2.
因為AP=3PB，所以-x1=3x2，
所以〖JB（{〗x1+x2=-2x2，x1x2=-3x22.則3（x1+x2）2+4x1x2=0，即3?（〖SX（〗-2kmk2+2）2+4?〖SX（〗m2-1k2+2=0，
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0，即k2（4m2-1）+（2m2-2）=0，
當m2=〖SX（〗14時，上式不成立；當m2≠〖SX（〗14時，k2=〖SX（〗2-2m24m2-1，
由（*）式，得k2>2m2-2，又k≠0，又k2=〖SX（〗2-2m24m2-1>0，故〖SX（〗2-2m24m2-1>2m2-2，解得-1
